[jonalan20]

Aquí tengo otro problema:

Contra un sistema constituido por dos bolitas de masa m cada una, enlazadas por un muelle que se halla en reposo sobre una superficie horizontal lisa, se aproxima  una bolita de masa M con velocidad v, produciéndose un choque frontal absolutamente elástico.
Hallar de manera aproximada la relación de las masas m/M con la cual el choque se producirá una vez más.

P.D. las tres bolas están en la misma recta.

[Richard R Richard]

Hola, con un rato de tiempo libre, me puse a revisar problemas sin solución

Ví este enunciado  y dije "pan comido"... pero no me resultó así

He llegado ha resultado contradictorio a mi lógica, así que o bien me equivoco  en el planteo, o realmente no sucede el segundo impacto tal cual preveo

Dejo mis intentos , si alguien le interesa revisarlos

Spoiler

Planteamos la conservación del momento lineal
\( MV_i=mv_f+MV_f \) Ec1

por conservación de la energía mecánica luego del choque es fácilmente deducible la velocidad del centro de masas del conjunto de las masas atadas por el resorte

\( V_{cm}=\dfrac{m}{m+m}v_f=\dfrac{v_f}2 \) Ec_2

planteando la conservación de la energía del choque elástico tenemos

\( Em_i=\dfrac12 V_i^2=\dfrac12mv_f^2+\dfrac12MV_f^2=Em_f \) Ec3

y se puede deducir que habrá un nuevo impacto si \( 2\vec{V_{cm}}\vec{V_f}>\vec{V_{cm}} \) lo escribo vectorialmente para denotar que no solo debe ser mayor en modulo sino colineal y del mismo sentido.


Proponemos la igualdad como caso limite

sí de la ec2 reemplazamos \( V_f=V_{cm}=\dfrac{v_f}{2} \) en la Ec1 y en la Ec3

\( MV_i=mv_f+M\dfrac{v_f}{2} \) Ec1'

\( \dfrac12 MV_i^2=\dfrac12mv_f^2+\dfrac12M\left(\dfrac{v_f}{2}\right)^2 \) Ec3'

independizando respecto de la velocidad inicial reemplazando la 1' en la 3'


\( \dfrac12 M\left(\dfrac{m}{M}v_f+\dfrac{v_f}{2}\right)^2=\dfrac12mv_f^2+\dfrac12M\left(\dfrac{v_f}{2}\right)^2 \)

si observamos la velocidad final aparecerá al cuadrado en todos los sumandos podemos directamente simplificarla.


\( \dfrac12 M\left(\dfrac{m}{M}+\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac12m+\dfrac12M\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \)


operando

\( \dfrac{1}{2}M\dfrac{m^2}{M^2}+\dfrac{1}{2}M\dfrac{m}{M} +\cancel{\dfrac{1}{2}M\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}m+\cancel{\dfrac{1}{2}M\dfrac{1}{4}} \)

queda

\( \dfrac{m^2}{2M}+\cancel{\dfrac{m}{2}}=\cancel{\dfrac{1}{2}m} \)

\( m\to0 \) o \( M\to \infty \)


con lo que con concluimos que la masa de la bola de impacto mucho más grande que el cuadrado de la masa de las bolitas o que estas sean nulas es una opción , pero falta la condición mínima
Para el segundo caso limite


sí de la ec2 reemplazamos \( V_f=2V_{cm}=2\dfrac{v_f}{2}=v_f \) en la Ec1 y en la Ec3

\( MV_i=mv_f+Mv_f \) Ec1’’
\( \dfrac12 MV_i^2=\dfrac12mv_f^2+\dfrac12Mv_f^2 \) Ec3'’

Independizando de \( V_i \) y \( v_f \)
\( \dfrac12M\left(\dfrac{m}{M}v_f+v_f\right)^2=\dfrac12mv_f^2+\dfrac12Mv_f^2 \)

\( \dfrac12M\left(\dfrac{m}{M}+1\right)^2=\dfrac12m+\dfrac12M \)

\( \dfrac12M\dfrac{m^2}{M^2}+\dfrac12M\dfrac{2m}{M}+\dfrac12M=\dfrac12m+\dfrac12M \)

\( \dfrac{m^2}{2M}+m+\cancel{\dfrac12M}=\dfrac12m+\cancel{\dfrac12M} \)

\( \dfrac{m^2}{2M}=-\dfrac12m  \) masas negativas --- no creo , solo es que el problema se las trae

veamos

sí de la ec2 reemplazamos \( \dfrac{v_f}{2}<V_f=\dfrac {v_f}{2}(1+\alpha)<v_f \quad\to \quad\alpha \in(0,1) \) en la Ec1 y en la Ec3 y reintentamos

\( MV_i=mv_f+Mv_f\dfrac{1+\alpha}{2} \) Ec1’’'

\( \dfrac12 MV_i^2=\dfrac12mv_f^2+\dfrac12M\left(v_f\dfrac{1+\alpha}{2}\right)^2 \) Ec3'’'

Independizando de \( V_i \) y \( v_f \)

\( \dfrac12M\left(\dfrac{m}{M}v_f+\dfrac{v_f(1+\alpha)}{2}\right)^2=\dfrac12mv_f^2+\dfrac12M\left(v_f\dfrac{1+\alpha}{2}\right)^2 \)

\( \dfrac12M\left(\dfrac{m}{M}+\dfrac{(1+\alpha)}{2}\right)^2=\dfrac12m+\dfrac12M\left(\dfrac{1+\alpha}{2}\right)^2 \)

\( \dfrac{m^2}{2M}+\dfrac12M \dfrac{m}{M}  (1+\alpha)+\cancel{\dfrac12M\left(\dfrac{1+\alpha}{2}\right)^2}=\dfrac12m+\cancel{\dfrac12M\left(\dfrac{1+\alpha}{2}\right)^2} \)

\( \dfrac{m^2}{2M}+\dfrac{m}{2}  (1+\alpha)=\dfrac12m \)

\( \dfrac{m^2}{2M}=-\dfrac{\alpha}2m \)   llego a esta conclusión que no es lógica así que me equivoco en algún lado y no lo veo .

[cerrar]

[Richard R Richard]

Habiendo recibido ayuda, paso la solución


Situación inicial antes del choque (\( t <0 \)), sistema laboratorio

\( x_M = V_0 t  \)

\( x_{m1} =0  \)

\( x_{m2} = l_0  \)

Después del choque (\( t \geq 0 \))

\( V_M= V_0 {M-m \over M+m} \)

\( x_M = V_0 {M-m \over M+m} t  \) a tiempo cero \( x_M=0 \)

\( V_{m1} = V_0 {2 M \over M + m}   \)

Solo en el instante inicial

\( x_{m1} = V_0 {2 M \over M + m} t  \) a tiempo cero \( x_{m1}=0 \)

\( V_{m2}=0 \)

\( x_{m2} = l_0  \)

El centro de masas de las dos masas m se mueve a una velocidad \( v_{CM} = V_0 { M \over M + m}=\dfrac{V_{m1}}{2} \) con respecto al laboratorio

Las masas solidarias al resorte se moverán  de acuerdo a un MAS de velocidad inicial choque \( V_0 \)

Resultando sus trayectorias

\( x(t)_{m1}=\dfrac{m_1}{m_1+m_2}v\,t+\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\dfrac{v}{\omega}\sin\omega t \)

\( x(t)_{m2}=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}v\,t-\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\dfrac{v}{\omega}\sin\omega t \)

con \( \omega =\sqrt{\dfrac{K}{2m}} \)  y con \( m_1=m_2 \) queda

\( x(t)_{m1}=\dfrac{v\,t}{2}+\dfrac12\dfrac{v}{\omega}\sin\omega t \)

reemplazando \( V_{m1}=v \)

\( x(t)_{m1}=\dfrac{ V_0 {2 M \over M + m}\,t}{2}+\dfrac12\dfrac{ V_0 {2 M \over M + m}}{\omega}\sin\omega t \)


El instante de esa segunda colisión ocurre cuando \( x_M = x_{m1} \).

Ello implica

\(  {-m \over M} \omega t = \sin( \omega t)  \)

Haciendo nuestra incógnita  \( \omega t= x \)

\(  {-m \over M} x = \sin( x)  \)

Esta ecuación puede verse gráficamente como la intersección de una línea recta de pendiente \( - {m \over M}  \) con una sinusoide.

El límite de estas soluciones, es cuando la línea recta es tangente a la sinusoide. Esto ocurre igualando también las derivadas: \( - {m \over M} = \cos(x) \).

El cociente de ambas soluciones nos da la condición \(  x=\tan(x) \), que tiene como primera solución \( \omega t =x= 4,4934  \). Esto nos lleva a que, en el caso limite,

\( {m \over M} = - {\sin(4,4934) \over 4,4934} = 0,2172  \)

Así que cuando \( m/M \) es mayor que 0,2172, las bolas no vuelven a chocar.