[manooooh]

Hola a todos! Mañana tengo examen y no entiendo bien cómo hizo el profesor para parametrizar lo siguiente:

"Parametrice la trayectoria de una partícula que recorre el arco del primer cuadrante de la curva de ecuación \( x + y^2 -2y = 0 \). Grafique dicha trayectoria, indicando el sentido del recorrido según la parametrización realizada".

Resolución:

\( y^2 - 2y + x = 0 \Longrightarrow{} y^2 -2y +1 - 1 + x = 0 \Longrightarrow{} (y- 1)^2 = -x + 1 \)

Para parametrizar tomo \( t = y -1 \):
\( y = 1 + t \);  \( t^2 = -x + 1 \Longrightarrow{} x = 1 - t^2 \).

Entonces me queda escribir la parametrización, pero de toda la parábola (¿es una parábola?). Para esto, debo hallar el intervalo de \( t \): \( y \in{} \mathbb{R} \rightarrow{} 1 + t \in{} \mathbb{R} \rightarrow{} t \in{} \mathbb{R} \)
\( \begin{cases}x = 1 - t^2\\y = 1 + t \\t \in{} \mathbb{R}\end{cases} \)

Hasta acá entendí, luego el profesor dio la respuesta pero no sé cómo lo hizo:
\( 0 \leq{} y\leq{} 2 \), no sé cómo llegó a saber que el intervalo es \( [0, \; 2] \). ¿Qué puntos tomó? ¿En qué dirección?
\( 0 \leq{} t + 1 \leq{} 2 \)
\( \boxed{-1 \leq{} t \leq{} 1 \textrm{; en sentido antihorario}} \)

Gracias!!

[Ignacio Larrosa]

Hola a todos! Mañana tengo examen y no entiendo bien cómo hizo el profesor para parametrizar lo siguiente:

"Parametrice la trayectoria de una partícula que recorre el arco del primer cuadrante de la curva de ecuación \( x + y^2 -2y = 0 \). Grafique dicha trayectoria, indicando el sentido del recorrido según la parametrización realizada".

Resolución:

\( y^2 - 2y + x = 0 \Longrightarrow{} y^2 -2y +1 - 1 + x = 0 \Longrightarrow{} (y- 1)^2 = -x + 1 \)

Para parametrizar tomo \( t = y -1 \):
\( y = 1 + t \);  \( t^2 = -x + 1 \Longrightarrow{} x = 1 - t^2 \).

Entonces me queda escribir la parametrización, pero de toda la parábola (¿es una parábola?). Para esto, debo hallar el intervalo de \( t \): \( y \in{} \mathbb{R} \rightarrow{} 1 + t \in{} \mathbb{R} \rightarrow{} t \in{} \mathbb{R} \)
\( \begin{cases}x = 1 - t^2\\y = 1 + t \\t \in{} \mathbb{R}\end{cases} \)

Se trata de una parábola de vértice en el punto \( (1, 1) \), eje paralelo al eje \( Ox \) y dirigida hacia las \( x \) negativas (para valores de \( x \) grandes en valor absoluto y negativos hay dos valores de \( y \), mientras que para valores de \( x \) grandes en valor absoluto y positivos no hay).

Hasta acá entendí, luego el profesor dio la respuesta pero no sé cómo lo hizo:
\( 0 \leq{} y\leq{} 2 \), no sé cómo llegó a saber que el intervalo es \( [0, \; 2] \). ¿Qué puntos tomó? ¿En qué dirección?
\( 0 \leq{} t + 1 \leq{} 2 \)
\( \boxed{-1 \leq{} t \leq{} 1 \textrm{; en sentido antihorario}} \)

Gracias!!

Necesitamos saber que parte esta en el primer cuadrante. Para ello hallamos la intersección con los ejes:

Con el eje \( Ox \):  \( y = 0 \Rightarrow{} 1 = - x + 1 \Rightarrow{} x = 0 \)

Con el eje \( Oy \):  \( x = 0 \Rightarrow{} (y-1)^2 = + 1 \Rightarrow{} y(y -2) = 0\Rightarrow{}\;y = 0, 2 \)

Como la parábola esta dirigida hacia la izquierda, los valores de \( y \) que nos interesan son los del intervalo [0, 2], lo que de acuerdo con la parmetrización tomado corresponde a \( -1\leq{}t\leq{}1 \). El sentido es desde \( (0, 0) a (0, 1) \) a lo largo de la parábola, contrario a las agujas del reloj por tanto.


Saludos,

[manooooh]

Hola,

Necesitamos saber que parte esta en el primer cuadrante. Para ello hallamos la intersección con los ejes:

Con el eje \( Ox \):  \( y = 0 \Rightarrow{} 1 = - x + 1 \Rightarrow{} x = 0 \)

Con el eje \( Oy \):  \( x = 0 \Rightarrow{} (y-1)^2 = + 1 \Rightarrow{} y(y -2) = 0\Rightarrow{}\;y = 0, 2 \)

Esto me quedó claro! Ahora, ¿si me pidiesen por ejemplo en el tercer cuadrante cómo haría?


Lo que no entendí fueron estas implicaciones que has pensado:

(...) eje paralelo al eje \( Ox \) y dirigida hacia las \( x \) negativas (para valores de \( x \) grandes en valor absoluto y negativos hay dos valores de \( y \), mientras que para valores de \( x \) grandes en valor absoluto y positivos no hay).

\( \Rightarrow{} \) esto primero lo entendí

Como la parábola esta dirigida hacia la izquierda, los valores de \( y \) que nos interesan son los del intervalo [0, 2]

\( \Rightarrow{} \)

El sentido es desde \( (0, 0) a (0, 1) \) a lo largo de la parábola, contrario a las agujas del reloj por tanto.

Por lo que veo no graficaste la parábola, lo fuiste razonando (digo, me imagino que lo pensaste y luego lo hiciste en GeoGebra).

[Ignacio Larrosa]

Hola,

Necesitamos saber que parte esta en el primer cuadrante. Para ello hallamos la intersección con los ejes:

Con el eje \( Ox \):  \( y = 0 \Rightarrow{} 1 = - x + 1 \Rightarrow{} x = 0 \)

Con el eje \( Oy \):  \( x = 0 \Rightarrow{} (y-1)^2 = + 1 \Rightarrow{} y(y -2) = 0\Rightarrow{}\;y = 0, 2 \)

Esto me quedó claro! Ahora, ¿si me pidiesen por ejemplo en el tercer cuadrante cómo haría?

El parámetro \( t \) es esencialmente la \( y \), solo desplazada una unidad. En el tercer cuadrante, la ordenada de nuestra parábola varía desde\(  -(\infty, 0] \), por lo que tendremos que tomar \( t\in{}(-\infty,-1] \).

Lo que no entendí fueron estas implicaciones que has pensado:

(...) eje paralelo al eje \( Ox \) y dirigida hacia las \( x \) negativas (para valores de \( x \) grandes en valor absoluto y negativos hay dos valores de \( y \), mientras que para valores de \( x \) grandes en valor absoluto y positivos no hay).

\( \Rightarrow{} \) esto primero lo entendí

Como la parábola esta dirigida hacia la izquierda, los valores de \( y \) que nos interesan son los del intervalo [0, 2]

\( \Rightarrow{} \)

El sentido es desde \( (0, 0) a (0, 1) \) a lo largo de la parábola, contrario a las agujas del reloj por tanto.

Por lo que veo no graficaste la parábola, lo fuiste razonando (digo, me imagino que lo pensaste y luego lo hiciste en GeoGebra).

La parábola atraviesa al eje \( Oy\textrm{ en }y=0\textrm{ y en }y = 2 \); como esta dirigida hacia la izquierda, la parte central \( y\in{}[0, 2] \) es la que corresponde a la derecha del eje \( Oy \).

Lo del sentido de recorrido no tiene mayor complicación, cuando \( t \) aumente la y también lo hace. Un punto sobre la curva se desplaza del \( (0, 0)\textrm{ al }(0, 2) \) cuando \( t \) varía de \( 0\textrm{ a }2 \). Como se curva hacia la izquierda a la vez, podemos decir que gira en sentido contrario a las agujas del reloj, pero creo que no es estrictamente eso a lo que se refiere el enunciado.

En general, las cónicas en cuya ecuación no hay término en \( xy \) tienen sus ejes paralelos a los de coordenadas. Si hay término cuadrático en una sola de las dos variables, se trata de una parábola, un crecimiento lineal en la dirección de un eje se corresponde con un incremento cuadrático en la del otro. La variable que carece de término cuadrático se corresponde con la dirección del eje de la parábola. Para ver hacia que lado está dirigida, no hay más que completar cuadrados y ver para que valores el término lineal es positivo: si es \( (y - 1)^2 = -(x - 1) \), (x-1) debe ser negativo.

Saludos,

[manooooh]

Muchas gracias Profe!