[Quema]

Hola si tengo dos variables aleatorias \( X,Y \)con funcion de distribucion acumulada \( F,G \)respectivamente.
Supongamos que tengo una variable aleatoria \( Z \)con funcion de distribucion acumulada igual a \( aF+(1-a)G \) con \( a\in{}(0,1) \)
Bajo que condiciones
a-la función de distribución acumulada de \( Z \) puede ser expresada de esa forma. No es necesario saber si \( X,Y \)son independientes.
b- bajo cuales condiciones se cumple\( Z=aX+(1-a)Y \).
c- De no cumplirse b, que relacion existe entre \( Z,X,Y \)

[Luis Fuentes]

Hola

 En fin tus preguntas siempre me descolocan un poco. En parte porque ando fatal en probabilidad y estadística. Pero a bote pronto:

 La pregunta a) no la entiendo.

 Si pones la hipótesis de que la función de distribución de \( Z \) es \( aF+(1-a)G \), pues entonces ya puede ser expresada de esa forma.

 Si no la pones, aunque suene a perogrullada, la caracterización más inmediata de las que pueden ponerse de esa forma son... las que pueden pueden ponerse de esa forma. Poco más hay que decir.

 En cuanto a b),c) si dos v.a. tienen la misma distribución entonces son iguales en casi todo punto. Así que pudes afirmar que Z=aX+(1-a)Y casi por doquier. Con la hipoteis adicional de que las densidades sean continuas o discretas, tienes la igualdad absoluta.

(modificado)

Saludos.

[Quema]

Ayer no pude dormir por este tema, al final creo que el problema lo expresé mal, y es como sigue.
Supónte que hay una variable aleatoria que es función de otras dos \( Z=V(X,Y) \) y su función de distribución acumulada es \( H(x,y)=F(x)+G(y) \), siendo \( F,G \)las f.d.a. de \( X,Y \)respectivamente. Ahora cómo hallo la esperanza de \( Z=V(X,Y) \).
Pues si no recuerdo mal esta es igual a:
\( EV(X,Y)=\displaystyle\int_{a}^{b}\displaystyle\int_{a}^{b}zf_X_Y(x,y)dxdy \)
Pero \( f_X_Y(x,y)=\frac{dF}{dxdy}=0 \), entonces?

El tema es que alguien puede decir que

\( EV(X,Y)=\displaystyle\int_{a}^{b}\displaystyle\int_{a}^{b}zd(F(x)+G(y))  \)este paso me parece que estaría mal.
Además según tu respuesta tu me quieres decir que la distribución de función acumulada de \( aX+(1-a)Y \)es igual a \( aF+(1-a)G \)y eso no es cierto, no?

[Luis Fuentes]

Hola

 Como ves no estoy muy puesto en estadística. Tienes razón en lo último que dices. Una vez más interpretaba mal.

 De todas formas hay detalles que no cuadran en tu planteamiento. Por una parte dices que

\(  Z=V(X,Y) \)

 por otra que su función de distribución es:

\(  H(x,y)=F(x)+G(Y) \)

 pero entonces \( Z \) es una varaible bidimensional. No tienes sentido que calcules la esperanza de \( Z \) sino la de alguna de sus dos componentes.

 Por otra parte así definida \( H(x,y) \) no puede ser de distribución porque puede tomar valores mayores que 1.

Saludos.

[Quema]

Si me expresé yo también mal. Si tenés dos funciones de distribucion acumulada
\( F,G \)con soporte en \( [0,1] \). Definí una función de distribución acumualda \( H(x)=aF(x)+(1-a)G(x) \), \( a\in{}(0,1) \)
¿esto significa que la esperanza de \( E(Z)=aE(X)+(1-a)E(Y) \)?

Si la respuesta afirmativa no es lo mismo que decir que para una v.a. \( Z=X+Y \)entonces su función de distribución acumulada es \( F(x)+G(x) \)y esto como sabemos no tiene por qué ser cierto.

[Luis Fuentes]

Hola

Si me expresé yo también mal. Si tenés dos funciones de distribucion acumulada
\( F,G \)con soporte en \( [0,1] \). Definí una función de distribución acumualda \( H(x)=aF(x)+(1-a)G(x) \), \( a\in{}(0,1) \)
¿esto significa que la esperanza de \( E(Z)=aE(X)+(1-a)E(Y) \)?

Esto si es cierto.

Si la respuesta afirmativa no es lo mismo que decir que para una v.a. \( Z=X+Y \)entonces su función de distribución acumulada es \( F(x)+G(x) \)y esto como sabemos no tiene por qué ser cierto.

No, no es lo mismo. Por que \( E(Z)=E(X)+E(Y) \) no quiere decir que la función de distribución de \( Z \) sea la de \( X \) más la de \( Y \).

Saludos.