[ghvddgr]

Este es mi problema,

Demuestre que la sucesión
\( \{x_n\}_{n\in \mathbb{N}} \) de números reales definida por \( x_1=1, x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n}, \ n\in \mathbb{N} \)

Estoy intentando hacer uso de este corolario: "Una sucesión monótona (estrictamente) creciente converge o diverge a infinito"

Como \( x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n}>x_n \), la sucesión es estrictamente creciente, y por lo enunciado converge o diverge a infinito. Ahora quiero mostrar que \( \{x_{n}\} \) es una sucesión no acotada y por tanto no converge, quedándonos así que ella diverge a infinito.

La cuestión es que no encuentro manera de mostrar que la sucesión es no acotada. Alguna pista?

[Masacroso]

Si existiese un límite \( L \) finito debería cumplirse que \( L=L+1/L \). Ahora te queda demostrar que: o bien esa ecuación no tiene soluciones, o bien las soluciones no pueden ser límite de la sucesión.

[ghvddgr]

Si existiese un límite \( L \) finito debería cumplirse que \( L=L+1/L \). Ahora te queda demostrar que: o bien esa ecuación no tiene soluciones, o bien las soluciones no pueden ser límite de la sucesión.

No veo porque debería cumplirse que \( L=L+1/L \). Si la sucesión converge a L, L no necesariamente es un elemento de la sucesión. Aunque si pudiera justificar eso me parece que tienes razón pues como \( L=L+1/L \) no tiene raíces reales y la sucesión dada es una de números reales, por tanto L tiene que ser un número real.

[Masacroso]

Si existiese un límite \( L \) finito debería cumplirse que \( L=L+1/L \). Ahora te queda demostrar que: o bien esa ecuación no tiene soluciones, o bien las soluciones no pueden ser límite de la sucesión.

No veo porque debería cumplirse que \( L=L+1/L \). Si la sucesión converge a L, L no necesariamente es un elemento de la sucesión. Aunque si pudiera justificar eso me parece que tienes razón pues como \( L=L+1/L \) no tiene raíces reales y la sucesión dada es una de números reales, por tanto L tiene que ser un número real.

Tenemos la hipótesis de que \( \lim_{n\to\infty}x_n=L \) con \( L \) finito, entonces aplicando límites a ambos lados de la recurrencia tenemos que

\( \displaystyle\lim_{n\to\infty} x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}x_n+\lim_{n\to\infty}\frac1{x_n}\implies L=L+1/L \)

Observa que en cualquier caso \( L\neq 0 \) ya que la sucesión es positiva y creciente. Por tanto si el límite fuese finito tendríamos la anterior ecuación.

[ghvddgr]

Genial! Ya lo he entendido. Muchas Gracias!