[statistic_man]

Hola tengo que demostrar la siguiente desigualdad aplicando inducción sobre n \( 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}> 2(\sqrt{n+1}-1) \).

Para n=1 es trivial.

Supongamos cierto para \( n>1 \), es decir, \( 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}> 2(\sqrt{n+1}-1) \).

Vemos para \( n+1 \).

Parto de que \( 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}> 2(\sqrt{n+1}-1)+\frac{1}{\sqrt{n+1}} \). Pero de ahí no logro deducir que  \( 2(\sqrt{n+1}-1)+\frac{1}{\sqrt{n+1}}>2(\sqrt{n+2}-1) \)

Saludos espero podáis ayudarme.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola tengo que demostrar la siguiente desigualdad aplicando inducción sobre n \( 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}> 2(\sqrt{n+1}-1) \).

Para n=1 es trivial.

Supongamos cierto para \( n>1 \), es decir, \( 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}> 2(\sqrt{n+1}-1) \).

Vemos para \( n+1 \).

Parto de que \( 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}> 2(\sqrt{n+1}-1)+\frac{1}{\sqrt{n+1}} \). Pero de ahí no logro deducir que  \( 2(\sqrt{n+1}-1)+\frac{1}{\sqrt{n+1}}>2(\sqrt{n+2}-1) \)

Haz las cuentas. Quitando parénteis equivale a:

\( 2\sqrt{n+1}+\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}>2\sqrt{n+2} \)

Quitando denominadores equivale a:

\( 2n+3>2\sqrt{n+2}\sqrt{n+1} \)

Eleva ambos términos al cuadrado, opera y termina.

Saludos.

[statistic_man]

Gracias Luis, hay una cosa que no veo clara. Evidentemente si quiero llegar a ese resultado y parto de él, es decir, considerar

\( 2\sqrt{n+1}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}>2\sqrt{n+2} \) no es fácil a simple vista, al menos, yo he intentado demostrar esa desigualdad y no lo logro. Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias Luis, hay una cosa que no veo clara. Evidentemente si quiero llegar a ese resultado y parto de él, es decir, considerar

\( 2\sqrt{n+1}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}>2\sqrt{n+2} \) no es fácil a simple vista, al menos, yo he intentado demostrar esa desigualdad y no lo logro. Saludos.

No acabo de entender tu pregunta. ¿Has logrado terminar con mis indicaciones?.

No se trata de resolver nada a simple vista. Claramente al intentar aplicar inducción nos vemos obligados a demostrar la siguiente desigualdad:

\( 2\sqrt{n+1}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}>2\sqrt{n+2} \)

El camino que te he propuesto consiste en operarla obteniendo desigualdades equivalentes (si se cumple la una se cumple la otra y viceversa). Así hasta llegar a una desigualdad inmediata y equivalente a la inicial.

¿Lo has conseguido? ¿Que dificultad concreta encuentras?.

Saludos.

[statistic_man]

Entonces para demostrar \( 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n+1}}>2(\sqrt{n+2}-1) \) aplicamos la hipótesis de inducción es decir: \( 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n+1}}>2(\sqrt{n+1}-1)+\frac{1}{\sqrt{n+1}} \).

Ahora nos queda por probar que la última cota inferior, cumple que \( 2(\sqrt{n+1}-1)+\frac{1}{\sqrt{n+1}}>2(\sqrt{n+2}-1) \). Quitando paréntesis tenemos una desigualdad equivalente, \( 2\sqrt{n+1}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}>2\sqrt{n+2} \).

A continuación multiplicamos por \( \sqrt{n+1} \) y obtenemos \( 2n+3>2\sqrt{n+1}\sqrt{n+2} \) y elevando al cuadrado se obtiene una desigualdad equivalente: \( 4n^2+12n+9>4(n^2+n+2n+2) \) y eso es lo mismo que  \( 4n^2+12n+9>4n^2+12n+8 \) que se cumple para todo \( n \in \mathbb N \).

Concluimos que la desigualdad inicial se cumple para todo \( n \in \mathbb N \) y el tercer paso de inducción queda probado.

[Luis Fuentes]

Hola

Entonces para demostrar \( 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n+1}}>2(\sqrt{n+2}-1) \) aplicamos la hipótesis de inducción es decir: \( 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n+1}}>2(\sqrt{n+1}-1)+\frac{1}{\sqrt{n+1}} \).

Ahora nos queda por probar que la última cota inferior, cumple que \( 2(\sqrt{n+1}-1)+\frac{1}{\sqrt{n+1}}>2(\sqrt{n+2}-1) \). Quitando paréntesis tenemos una desigualdad equivalente, \( 2\sqrt{n+1}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}>2\sqrt{n+2} \).

A continuación multiplicamos por \( \sqrt{n+1} \) y obtenemos \( 2n+3>2\sqrt{n+1}\sqrt{n+2} \) y elevando al cuadrado se obtiene una desigualdad equivalente: \( 4n^2+12n+9>4(n^2+n+2n+2) \) y eso es lo mismo que  \( 4n^2+12n+9>4n^2+12n+8 \) que se cumple para todo \( n \in \mathbb N \).

Concluimos que la desigualdad inicial se cumple para todo \( n \in \mathbb N \) y el tercer paso de inducción queda probado.

Correcto.

Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

En este punto:

\(  2n + 3 > 2 \cdot \sqrt{(n+2) \cdot (n+1)}  \)

\( \dfrac{2n+3}{2} > \sqrt{(n+2) \cdot (n+1)}  \)

\( \dfrac{(n+1)+(n+2)}{2} > \sqrt{(n+2) \cdot (n+1)}  \) que es una desigualdad famosa.