[zimbawe]

Hola, por favor me pueden indicar si están bien mis pruebas de estos teoremas.
Mil gracias.
1) Demuestre que si \( (c,f(c)) \) es un punto de inflexión de la gráfica de
\( f \) y \( f"(c) \) existe en un intervalo abierto que contiene a c, entonces
\( f"(c)=0 \)
Mi prueba: como \( f(c) \) es un punto de inflexión, entonces entre \( f"(c) \) f cambia de signo y por el teorema de la primera derivada es un máximo o un mínimo local, ahora por el teorema de Fermat, esto implica que
\( f"(c)=0 \)

El otro teorema es.
Suponga que f es derivable sobre un intervalo I y \( f'(x)>0 \) para todos los números \( x \in{I} \) excepto para un único número c, pruebe que f es creciente.

Aquí puedo tomar \( x_1<c \) y usar el teorema del valor medio? Mil gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, por favor me pueden indicar si están bien mis pruebas de estos teoremas.
Mil gracias.
1) Demuestre que si \( (c,f(c)) \) es un punto de inflexión de la gráfica de
\( f \) y \( f"(c) \) existe en un intervalo abierto que contiene a c, entonces
\( f"(c)=0 \)
Mi prueba: como \( f(c) \) es un punto de inflexión, entonces entre \( f"(c) \) f cambia de signo y por el teorema de la primera derivada es un máximo o un mínimo local, ahora por el teorema de Fermat, esto implica que
\( f"(c)=0 \)

Me resulta confuso como lo has escrito. Además habría que saber exactamente como te definen punto de inflexión y que resultados previos puedes usar.

Cuando dices que en el punto de inflexión "cambia de signo". ¿Qué función cambia de signo?. Se pasa de un intervalo de concavidad a uno de convexidad o viceversa, así si ya tienes caracterizada la convexidad/concavidad en términos de la segunda derivada, es ésta la que cambia de signo y por continuidad tiene que valer cero en \( c \). Entonces no veo ahí que tengas que hacer intervenir la primera derivada ni los máximos ni los mínimos.

Cosa distinta es que digas que en el punto de inflexión cambia el crecimiento de \( f'(x) \), es decir para de creciente a decreciente o viceversa. En ese caso es cierto que \( f'(x) \) tendría un máximo o mínimo en el punto y por  tanto \( f''(c)=0 \).

El otro teorema es.
Suponga que f es derivable sobre un intervalo I y \( f'(x)>0 \) para todos los números \( x \in{I} \) excepto para un único número c, pruebe que f es creciente.

Aquí puedo tomar \( x_1<c \) y usar el teorema del valor medio? Mil gracias.

Precisa más. Supón que \( I=(a,b) \) y demuestra que \( f \) es creciente en \( (a,c] \) y en \( [c,b) \) y concluye que es creciente en \( (a,b) \).

Saludos.

[zimbawe]

Me definen punto de inflexión donde la función cambia de concavidad. Y también me dicen que si
\( f"(x)>0 \) entonces f es concava hacía arriba.
Y si sucede al revés, entonces es concava hacia abajo.
Por eso digo que cambia de signo, implica que en ese punto tiene un punto máximo local o mínimo local.
Y ahí es donde digo que puedo aplicar el teorema de Fermat.
Quedó atento a tu ayuda, mil gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Me definen punto de inflexión donde la función cambia de concavidad. Y también me dicen que si
\( f"(x)>0 \) entonces f es concava hacía arriba.
Y si sucede al revés, entonces es concava hacia abajo.
Por eso digo que cambia de signo, implica que en ese punto tiene un punto máximo local o mínimo local.

Si, la segunda derivada cambia de signo. ¿Pero qué función (\( ¿f? \) ó \( ¿f'? \) ó \( ¿f''? \)) entonces que tiene en ese punto un máximo local y un mínimo local y  por qué?.

Al respecto vuelve a leer con calma mi respuesta anterior.

Saludos.

[zimbawe]

Hola Luis. Ya te entendí, a lo que me refiero es que cambia de signo \( f'' \) ya te entendí también porque no interviene la primera derivada.
Es que no escribí bien lo que quería dar entender.
Yo quería usar el criterio de la primera derivada en la función:
\( g=f' \)
Sino que no fui claro. Mil gracias.