Hola buenos días, encuentro dificultades en la determinación de los conjuntos que determinan un cuerpo en el espacio, para después calcular su volumen. Por ejemplo;
El volumen interior al cilindro \( (x^2 + y^2)^2 = 2a^2xy \), limitado por el paraboloide hiperbólico \( xy = az \), \( a > 0 \) y el plano \( X0Y \) .
Llamándo \( R \) a dicho espacio, mi idea es que dicho volumen será la doble integral de \( z=\displaystyle\frac{xy}{a} \) es decir
\( Vol(R) = \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{D}^{}zdA = \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{D}^{}\displaystyle\frac{xy}{a}dA \) , \( D\subseteq{\mathbb{R}^2} \)
Haciendo el cambio de variable a polares \( x=r\cdot cos\theta \) , \( y=r\cdot sen\theta \) , \( J(r,\theta) = r \) se tiene
\( (x^2 + y^2)^2 = 2a^2xy \Longrightarrow{ r=a \sqrt[ 4]{sen (2\theta)}} \) luego (\( 0\leq{r\leq{\sqrt[ 4]{sen (2\theta)}}} \))
\( \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\displaystyle\int_{0}^{a \sqrt[ 4]{sen (2\theta)}}\displaystyle\frac{xy}{a}dA \)
¿Eso estaría bien?
Es una raíz cuadrada, date cuenta que has simplificado un \( r^2 \):
\( (x^2 + y^2)^2 = 2a^2xy \Longrightarrow{ r=a \sqrt[]{\sen (2\theta)}} \) luego (\( 0\leq{r\leq{\sqrt[]{\sen (2\theta)}}} \))
\( \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\displaystyle\int_{0}^{a \sqrt[]{\sen (2\theta)}}\displaystyle\frac{xy}{a}dA \)
\( \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\displaystyle\int_{0}^{a \sqrt[]{\sen (2\theta)}}\displaystyle\frac{r^2\cos(\theta)\sen(\theta)}{a}\cdot{}r\cdot{}dr \cdot{}d\theta= \displaystyle\frac{1}{a}\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\displaystyle\int_{0}^{a \sqrt[]{\sen (2\theta)}}r^3\cos(\theta)\sen(\theta)\cdot{}dr \cdot{}d\theta \)
Suponiendo que esto estuviese bien, ¿cómo puedo saber dónde varía \( \theta \in (\alpha, \beta)\subseteq{[0,2 \pi]} \)?
Tienes que estudiar la proyección del cilindro en el plano \( Oxy \):
\( r=a \sqrt[]{\sen (2\theta)} \)
Se trata de una lemniscata, un lazo con forma de \( \infty \), cuyo eje es la bisectriz del primer y tercer cuadrante, en cada uno de los cuales tiene un bucle. Simplemente observando como varía \( r\textrm{ con }\theta \), ves que es \( r = 0\textrm{ para }\theta = 0, \frac{\pi}{2}, \pi\textrm{ y }\frac{3\pi}{2} \), no estando definido en \( \left(\frac{\pi}{2}, \pi \right)\; \cup{}\;\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi \right) \)
Por otra parte, dada la simetría tanto del cilindro lemniscático como del paraboloide respecto del eje \( Oz \), no cambia nada al cambiar simultáneamente \( (x, y)\rightarrow{}(-x, -y \)), podemos calcular el volumen correspondiente a uno solo de los bucles y multiplicar por \( 2 \):
\( V = 2\cdot{}\displaystyle\frac{1}{a}\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\displaystyle\int_{0}^{a \sqrt[]{\sen (2\theta)}}r^3\cos(\theta)\sen(\theta)\cdot{}dr \cdot{}d\theta=\displaystyle\frac{1}{a}\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\displaystyle\int_{0}^{a \sqrt[]{\sen (2\theta)}}r^3\sen(2\theta)\cdot{}dr \cdot{}d\theta \)
Segunda Duda:
Se tiene que el \( Vol(R) = \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{D'}^{}1 dA \) con \( D' \in \mathbb{\mathbb{R}^3} \) y describir \( D' \) con coordenadas cilindricas , de nuevo tengo dificultades para describir dicha región, agradecería mucho si alguien pudiera darme las ideas básicas sobre la determinación de este recinto y otro en general.
No tiene dificultad, los límites de las dos primeras integrales son idénticos, y la tercera tiene que ir de \( 0\textrm{ a }\displaystyle\frac{xy}{a}=\displaystyle\frac{r^2\sen(2\theta)}{2a} \):
\( V = \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{D'}^{} dV = 2\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\displaystyle\int_{0}^{a \sqrt[]{\sen (2\theta)}}\displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{r^2\sen(2\theta)}{2a}}r\cdot{}dz\cdot{}dr \cdot{}d\theta \)
Si no me he confundido, el volumen total es \( \dfrac{a^3}{6} \).
Saludos,
