Según las reglas del foro puede adjuntarse la información del problema en imágenes por tratarse de un ejercicio extenso.
Ejercicio 1.2 Probar mediante inducción completa que \( a_n<\left(\dfrac{7}{4}\right)^n \), \( \forall n\in \mathbb{Z}^+ \) donde \( (a_n) \) es la sucesión definida por:
\( \begin{cases} a_1=1,\, a_2=3& \\a_n=a_{n-1}+a_{n-2} & \forall n\geq 3\end{cases} \)
Solución: Los dos primeros términos verifican la proposición, ya que:
\( a_1=1<\left(\dfrac{7}{4}\right)^1=\dfrac{7}{4}=1.75 \) y \( a_2=3<\left(\dfrac{7}{4}\right)^2=\dfrac{49}{16}=3.0625 \)
por lo que basta probar, haciendo uso del método de inducción completa que si la proposición es cierta para \( n\leq k \) también lo es para \( n=k+1 \), es decir, que:
\( a_n<\left(\dfrac{7}{4}\right)^n,\,\forall n\leq k\quad \Rightarrow{}\quad a_{k+1}<\left(\dfrac{7}{4}\right)^{k+1} \)
Haciendo uso de las hipótesis de inducción tenemos que:
\( a_{k+1}=a_k+a_{k-1}<\left(\dfrac{7}{4}\right)^k+\left(\dfrac{7}{4}\right)^{k-1}=\left(\dfrac{7}{4}\right)^{k-1}\left(\dfrac{7}{4}+1\right) \)
Como \( \dfrac{7}{4}+1=\dfrac{11}{4}=2.75<\left(\dfrac{7}{4}\right)^2=3.0625 \), podemos asegurar que
\( a_{k+1}<\left(\dfrac{7}{4}\right)^{k-1}\left(\dfrac{7}{4}+1\right)<\left(\dfrac{7}{4}\right)^{k-1}\left(\dfrac{7}{4}\right)^2=\left(\dfrac{7}{4}\right)^{k+1} \)
Por lo que \( a_n<\left(\dfrac{7}{4}\right)^n,\quad \forall n\in \mathbb{Z}^+ \).
No comprendo las soluciones proporcionadas para el ejercicio.
Entiendo hasta la linea siguiente incluyéndola. Necesitaría la explicación de las siguientes.
\( a_{k+1}=a_k+a_{k-1} \)
Gracias.
