Hola
Hay que elegir un sentido de recorrido de c, por ejemplo horario, parametrizar c, en este caso cada segmento, hacer las derivadas respectivas y calcular el integral . Te ejemplifico con el segmento \( (-1,1), \ (1,0) \) :
Ese segmento es parte de una recta cuya ecuación es : \( \displaystyle\frac{y}{1-x}=\displaystyle\frac{1}{2}\Rightarrow{y=\displaystyle\frac{-1}{2} \ x+\displaystyle\frac{1}{2}} \) eligiendo como parámetro x=t, se tiene que el segmento parametrizado :
\( \vec{\alpha_1(t)}=(t,\displaystyle\frac{-1}{2} \ t+\displaystyle\frac{1}{2}), \ \ -1\leq{t}\leq{1} \), es obvio que la línea se esta recorriendo en sentido horario
La derivada, será :
\( \vec{\alpha_1'(t)}=(1,\displaystyle\frac{-1}{2}), \ \ -1\leq{t}\leq{1} \)
El módulo de la derivada :
\( \left\|{\alpha_1'(t)}\right\|=\sqrt[ ]{1^2+(\displaystyle\frac{-1}{2})^2}=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{5}{4}} \)
La función escalar, en el segmento :
\( f(\vec{\alpha_1(t)})=t^2+(\displaystyle\frac{-1}{2} \ t+\displaystyle\frac{1}{2})^2=\displaystyle\frac{5}{4} \ t^2-\displaystyle\frac{1}{2} \ t+\displaystyle\frac{1}{4} \)
El integral de esta parte de la línea es :
\( \displaystyle\int_{-1}^{1}\ (\displaystyle\frac{5}{4} \ t^2-\displaystyle\frac{1}{2} \ t+\displaystyle\frac{1}{4}) \ \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{5}{4}} \ \ dt \)
Se procede de una manera semejante para los otros dos segmentos teniendo cuidado con la orientación y teniendo en cuenta que el integral en sentido contrario es el inverso aditivo del integral.
saludos
