Hola
Hola,
Si yo tengo esta operación \( g^{12}g_{21} \) que da?
A primera vista teniendo en cuenta que \( g^{ab}g_{ba}=\delta^a_a \) debería dar 1 no?
Pero claro, teniendo en cuenta que si el tensor métrico es diagonal y los otros valores fuera de esa diagonal son cero, entonces \( g^{11}g_{11}+g^{12}g_{21}=1 \) y \( g^{21}g_{12}+g^{22}g_{22}=1 \) con lo que \( g^{12}g_{21} \) debería ser 0 no?
Y luego, si de casualidad ese tensor métrico no es diagonal, como por ejemplo ds² = 5(dx1)² + 3(dx2)² + 4(dx3) - 6(dx1)(dx2) + 4(dx2)(dx3) sacado de aquí: http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com.es/2009/03/20-el-tensor-metrico.html ya podría dar cualquier valor
Con lo que: Cual seria el resultado correcto de esta operación \( g^{12}g_{21} \) y por que?
Tienes que tener cuidado con la
notación de Eisntein.
Cuando se escribe que:
\( g^{ik}g_{kj}=\delta^i_j \)
ese índice \( k \) repetido indica que se está sumando en ese índice es decir realmente la fórmula es:
\( \displaystyle\sum_{k=1}^n{}g^{ik}g_{kj}=\delta^i_j \) (*)
Si trabajas en dimensión dos, \( n=2 \). Por tanto NO quieres decir que se damos un único valor a \( k \) la fórmula se cumpla:
\( g^{i1}g_{1j}=\delta^i_j \) ¡MAL!Básicamente en (*) estamos diciendo que la matriz \( (g_{ij)} \) es la inversa de la matriz \( (g^{ij}) \).
Entonces a priori no sabemos cuanto vale \( g^{12}g_{21} \).
Si trabajas en dimensión dos y llamas \( G \) a la matriz de la métrica, teniendo en cuenta que ésta es simétrica, lo único que sabemos es que:
\( g^{12}=-\dfrac{g_{21}}{|G|} \)
y por tanto:
\( g^{12}g_{21}=-\dfrac{g_{21}^2}{|G|} \)
Saludos.
