En geometría diferencial clásica, tenemos un triedro móvil sobre la superficie {\( \vec{r_1},\vec{r_2},\vec{N} \)} si sacamos las derivadas segundas de los vectores r y las igualamos, nos da una ecuación que tiene como componentes de \( \vec{r_n} \) las ecuaciones de Gauss-Codazzi y como componentes de \( \vec{N} \) las ecuaciones de Codazzi-Mainardi
las ecuaciones de Gauss-Codazzi se utilizan por ejemplo, para sacar la curvatura seccional con el tensor \( R_{1212} \) Lo que no entiendo es porque se relacionan así tan alegremente con el tensor de Riemann (hay mas casos, como por ejemplo, el que el escalar de Ricci R sea el doble de la curvatura de Gauss) sin tener en cuenta las componentes \( \vec{N} \) ( ecuaciones de Codazzi-Mainardi ) de la ecuación original
pag. 5 y 6 de
http://casanchi.com/mat/egregium01.pdfGracias y saludos
