Hola mariia.
Si \( x_1,x_2\in A \), entonces \( h(x_1)=f(x_1) \) y \( h(x_2)=f(x_2) \).
Luego, \( h(x_1)=h(x_2)\Leftrightarrow f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2 \), pues \( f \) es inyectiva.
Análogamente para \( x_1,x_2\in B \).
Si \( x_1\in A \) y \( x_2\in B \), entonces
\( h(x_1)=h(x_2)\Leftrightarrow f(x_1)=g(x_2) \)
pero \( f(x_1)\in C \) y \( g(x_2)\in D \), con \( C\cap D=\emptyset \), por lo que \( h(x_1)\neq h(x_2) \).
Por tanto, \( h \) es inyectiva.
La sobreyectividad es más sencilla. Busca un contraejemplo.
Sobre la escritura de mensajes, es más bonito y sencillo de escribir si
sólo encierras entre [tex] y [/tex] las fórmulas. Pero supongo que es cosa de gustos. Puedes probar citando mi mensaje para que veas como lo escribí y ver que cuan simple queda.
Además, mira como definir las funciones por tramo:
\( f(x)=\begin{cases} f(x) & \text{si}& x\in A\\ g(x) & \text{si}& x\in B\end{cases} \)
generado por el código:
\ begin{cases} f(x) & \text{si}& x\in A\\ g(x) & \text{si}& x\in B\end{cases}
y el símbolo "pertenece" \( \in \) se genera con \in
Para más sobre símbolos, tenemos un resumen muy bueno:
Ayuda LaTeX
