Hola, enrique-akatsuki.
El problema particular ya te lo han resuelto de dos formas distintas.
En general, se trata de expresar la ecuación o ecuaciones con una cantidad menor de variables (parámetros) poniendo algunas en función de otras.
Spoiler
También más en general, para éste o cualquier otro problema, hay que atender al número de variables que aparecen en las ecuaciones que te dan; en este caso son tres, x,y,z, queriendo decir que dichas ecuaciones representan algo (una familia de rectas o de planos) que hay en un espacio de tres dimensiones; dimensiones descritas a partir de los ejes X,Y,Z.
Otras veces podrá haber más o menos variables; por ejemplo, podrían ser cuatro, x,y,z,t, con le que tendríamos un espacio de cuatro dimensiones donde nos caben subespacios, además de rectas y planos, de tres dimensiones.
En el caso de tu problema tienes dos ecuaciones no equivalentes, porque una tiene coeficientes 3,2,4 y la otra tiene coeficientes, 3,-2,0; es decir, no encontramos un escalar tal que, mediante la multiplicación, podamos transformar unos coeficientes en otros. Luego tienes un sistema de ecuaciones de rango 2.
Esto quiere decir que, como el espacio es de tres dimensiones, “falta” una dimensión para completarlo, 3-2=1, que es precisamente la dimensión que tienen las rectas, 1, la dimensión del subespacio que están representando las ecuaciones que te dan (en el caso particular del problema es fácil “ver” con los ojos que se traduce en la intersección de dos planos, como dice el enunciado, pero cuando hay muchas dimensiones ya no podemos ver cómo sería dibujada tal representación; por eso hay que abstraer la idea de esta manera).
Y esa cantidad de dimensiones que tiene el subespacio, en general para cualquier problema, se halla así, mediante la diferencia entre la cantidad de variables que tengas en las ecuaciones dadas (que representan la dimensión del espacio general) y el rango del sistema de ecuaciones.
Y, quizá lo más importante en cuanto a todo esto, es que la cantidad de dimensiones del subespacio (recta, plano...) nos indica cuántos parámetros necesitamos usar en las ecuaciones paramétricas; es decir, en cuántas variables se nos queda la parametrización (en este caso, como es una recta, sólo se nos queda en una; puede usarse “t” para representarla o lambda o la letra que sea).
