[Javiskat]

¿Cómo demostrar que esta función es decreciente sin gráfica ni derivada?

    \( \sin(x)\left(\dfrac{1}{\cos^2(-\cos(x))})\right) \)

Muchas gracias.

[mathtruco]

Hola Javiskat.

Mensaje original

Cómo demostrar que esta función es decreciente sin gráfica ni derivada

Sen(x) * (1/(cos^2(-cos(x))))

7Muchas gracias

[cerrar]

Definición: Se dice que \( f \) es creciente si para todo \( x_1,x_2 \) es su dominio se cumple \( f(x_1)\leq f(x_2) \), y es decreciente cuando para todo \( x_1,x_2 \) es su dominio se cumple \( f(x_1)\geq f(x_2) \).

Algunos problemas sencillos pueden resolverse simplemente usando la definición.

En tu problema, nota que \( \sin(\pi n)=0 \) para todo entero \( n \), y como no es la función nula entonces no es creciente ni decreciente. Podría analizarse si es creciente o decreciente por tramos, pero sería un lío sin usar el criterio de la primera derivada.


Revisa tu mensaje y observa como ha cambiado la expresión matemática. Para próximos post sigue lo que te han señalado:

Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

[Javiskat]

Muchas gracias en realidad quería ver que es decreciente en [-π/2, -1] que gráficamente salía que era decreciente pero no se me ocurre idea sencilla de justificar por qué lo es. Muchas gracias

[Luis Fuentes]

Hola

Muchas gracias en realidad quería ver que es decreciente en [-π/2, -1] que gráficamente salía que era decreciente pero no se me ocurre idea sencilla de justificar por qué lo es. Muchas gracias

La función \( cos(x) \) es creciente en \( [-\pi/2,-1] \) y toma valores entre \( [0,cos(1)]\subset [0,\pi/2] \)

Entonces la función \( -cos(x) \) es decreciente en \( [-\pi/2,-1] \) y toma valores entre \( [-cos(1),0]\subset [-\pi/2,0] \)

Dado que la función \( cos^2(x) \) es creciente  en \( [-\pi/2,0] \), entonces \( cos^2(-cos(x)) \) es decreciente por ser composición de creciente y decreciente.

Entonces: \( \dfrac{1}{cos^2(-cos(x))} \) es creciente y positiva.


La función \( sin(x) \) en \( [-\pi/2,-1] \) es decreciente y negativa.

El producto de una función creciente y positiva con una decreciente y negativa es decreciente.

MAL

La función \( sin(x) \) en \( [-\pi/2,-1] \) es creciente y negativa.

Y no hay manera de saber a priori si el producto con una creciente positiva va a ser creciente o decreciente.

Hace falta un razonamiento más "fino"

Saludos.

CORREGIDO

[Javiskat]

Muchas gracias