[cactusa]

Hola

 Este es el ejercicio que más dudas me genera. Dices así: halla un número tal que la suma de su inverso sea mínimo.

 ¿Cómo sería? ¿A qué se refiere con la suma de suma inverso?.

 A mi me queda algo así la fórmula:

\( y=x+\displaystyle\frac{1}{x} \)

¿Sería así? El inverso sería hacer \( \displaystyle\frac{1}{x} \).

[Luis Fuentes]

Hola

Observa como habías escrito el enunciado. Mala ortografía. Uso indiscriminado de mayúsculas. Mala escritura de las fórmulas. Después te lo he corregido yo. Por favor: en lo sucesivo respeta las reglas del foro.

HOLAA, ESTE ES EL EJERCICIO QUE MAS DUDAS ME GENERA JEJE
DICE ASI:
HALLA UN NUMERO TAL QUE LA SUMA DE SU INVERSO SEA MINIMO

como seria? a que se refiere con la suma de suma inverso??

a mi me queda algo asi la formula:

y=x+\displaystyle\frac{1}{x}

seria asi?   el inverso seria hacer  \displaystyle\frac{1}{x}

Te piden efectivamente minimizar:

\( f(x)=x+\dfrac{1}{x} \) con \( x\in (0,+\infty) \)

- Calcula \( f'(x) \).
- Analiza cuando se anula la derivada.
- Analiza el signo de la segunda derivada.

Saludos.

[Ignacio Larrosa]

Supongo que olvidaste citar que debe ser \( x>0 \), pues de lo contrario no hay mínimo. Otra posibilidad sin usar derivadas es aplicar la desigualdad de las medias aritmética y geométrica:

\( \displaystyle\frac{a+b}{2}\geq{}\sqrt[ ]{a\cdot{}b}\;\forall{}\,a, b\geq{}0 \)

dándose la igualdad si y solo si \( a = b \).

Entonces,

\( \displaystyle\frac{x + \frac{1}{x}}{2}\geq{}\sqrt[ ]{x\cdot{}\frac{1}{x}} = 1\;\Longrightarrow{}\; x + \frac{1}{x}\geq{}2 \)

siendo entonces \( 2 \) el valor mínimo que se alcanza para \( x = 1 \).

O también, partir de \( (x - 1)^2 \geq{}0 \), desarrollar y dividir por \( x \), recordando que es mayor o igual que \( 0 \).

Saludos,

[Masacroso]

Otra forma: se puede demostrar, a través de los axiomas que definen \( \Bbb R \) como un cuerpo ordenado, que \( |x+x^{-1}|\ge 2 \), por lo cual los posibles mínimos absolutos vienen determinados por la ecuación \( |x+x^{-1}|=2 \).

[cactusa]

Hola

Observa como habías escrito el enunciado. Mala ortografía. Uso indiscriminado de mayúsculas. Mala escritura de las fórmulas. Después te lo he corregido yo. Por favor: en lo sucesivo respeta las reglas del foro.

HOLAA, ESTE ES EL EJERCICIO QUE MAS DUDAS ME GENERA JEJE
DICE ASI:
HALLA UN NUMERO TAL QUE LA SUMA DE SU INVERSO SEA MINIMO

como seria? a que se refiere con la suma de suma inverso??

a mi me queda algo asi la formula:

y=x+\displaystyle\frac{1}{x}

seria asi?   el inverso seria hacer  \displaystyle\frac{1}{x}

Te piden efectivamente minimizar:

\( f(x)=x+\dfrac{1}{x} \) con \( x\in (0,+\infty) \)

- Calcula \( f'(x) \).
- Analiza cuando se anula la derivada.
- Analiza el signo de la segunda derivada.

Saludos.

Hola!, gracias por la respuesta

1-acabo de calcular la derivada y me queda:
1- \( \dfrac{1}{x^2} \)
2-como analizo cuando se anula la derivada? jeje
3- la segunda derivada me queda del signo

\( \dfrac{2}{x^3} \)

los dos me quedan de signo positivo..?

[sugata]

\( 1-\dfrac {1}{x^2}=0\\1=\dfrac {1}{x^2}\\x^2=1 \)