[Alcornoque]

Si A = {0, 1, 2, 3, 4 ,5 ,6 ,7, 8, 9}, uántos pares ordenandos de conjuntos disjuntos pueden formarsecon los elementos de P(A). Note que el par ({1},{2}) es diferente del par ({2},{1.

En una primera aproximación lo que se me ocurrió fue lo siguiente:

Para los pares de solo un elemento:

({0},{1})
({0},{2})
...
({0},{9})

El par: ({0},{0}) no lo tomo porque: {0} intersección {0} = Vacio, lo cual no cumple con la condición del ejercicio

Luego seguiría con las de uno:
({1},{0})
..

({1},{9})

ASi hasta el 9 como primer leemeno del par

Además el par ({x},{x}) nunca debe estar.

Ahora le tocaria el runo a las de dos elmentos como primer elmento y uno o más como segundo elemento.

Por ejemplo:

({0, 1},{2})

Y es en esta parte donde comienza el verdadero problema, en continuar encontrando todo l oque falta,
pero no logro dar con una dea feliz paa contar de u modo preciso.

Saludos cordiales

[Masacroso]

Una forma de hacerlo es utilizando una relación de recurrencia. Supongamos que para \( n \) elementos tienes \( a_n \) pares ordenados disjuntos.

Entonces, ¿cuántos pares ordenados habría para un conjunto con \( n+1 \) elementos? Serían los mismos que los del paso anterior más aquellos pares que pudiesen formarse añadiendo el elemento \( n+1 \) a uno de los elementos de cualquier par anterior. Por tanto

\( \displaystyle a_{n+1}= 3a_n \)

Suponiendo que la fórmula de recurrencia esté bien definida (podría habérseme pasado algo por alto) y sabiendo que \( a_0=0 \) y \( a_1=2 \), ya que el conjunto vacío es también un subconjunto de cualquier conjunto, podemos buscar una fórmula para \( a_n \) que sólo dependa de \( a_1 \), y luego hallar \( a_{10} \).

[Carlos Ivorra]

En realidad \( a_1=3 \), por lo que la fórmula general es \( a_n=3^n \). Otra forma de verlo:

Un par \( (X, Y) \) de subconjuntos disjuntos de \( A \) puede tener como \( X \) cualquier subconjunto de \( A \), y entonces \( Y \) varía entre los subconjuntos de \( A\setminus X \).

Si \( A \) tiene \( n \) elementos, entonces tiene \( \displaystyle\binom{n}{k} \) subconjuntos \( X \) con \( k \) elementos y, para cada uno de ellos, hay \( 2^{n-k} \) subconjuntos \( Y\subset A\setminus X \), luego el número total de pares es

\( \displaystyle \sum_{k=0}^n\binom nk2^{n-k}=\sum_{k=0}^n\binom nk2^{n-k}1^k=(2+1)^n=3^n \).

[Ignacio Larrosa]

Hola, buenas tardes estimado Dr Carlos Ivorra.

Solo algo no me quedó claro, porque  a1 = 3?

Pues solo tengo:

({},{1})
({1},{})

Muchas gracias por la ayuda.

Si solo tienes un elemento, digamos el \( 1 \), tienes tras pares ordenados de subconjuntos disjuntos:

\( (\emptyset,\emptyset) \)
\( (\emptyset,\{1\}) \)
\( (\{1\},\emptyset) \)

Fíjate que sin el \( (\emptyset,\emptyset) \), la recurrencia planteada por Masacroso no funcionaría.

Saludos,

[Ignacio Larrosa]

Pero la intersección de los elementps de este par:  (∅,∅) , es el conujunto vacío, y entiendo por el problema que no debería ser posible un caso como este.

Su intersección es el vacío, por lo que se trata de subconjuntos disjuntos, tal y como pide el enunciado. Distinto sería que fuese \( (\{1\}, \{1\}) \), cuya intersección es \( \{1\} \neq{\emptyset} \)

Saludos,

[Alcornoque]

Hola,

Mi error, mi disculpas por no reparar en ese punto

Saludos.

[Masacroso]

En realidad \( a_1=3 \), por lo que la fórmula general es \( a_n=3^n \).

Ya sospechaba que algo se me podría estar pasando por alto... claro el conjunto vacío es disjunto de sí mismo.