Un dipolo eléctrico de momento \( p \) esta localizado en el origen. El dipolo crea un potencial eléctrico en \( r \) dado por:
\( \varphi(r) \) \( = \) \( \displaystyle\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \) \( \displaystyle\frac{p * r}{r^3} \)
Encuentre el campo electrico \( E(r) \) \( = \) \( -∇ \varphi(r) \) en \( r \)
Ojo, en el numerador \( r \) representa el vector posición \( \vec{r}=[x,y,z] \) y * el producto escalar.
Mientras que en el denominador \( r \) representa el módulo del vector posición \( r=\displaystyle\sqrt{x^2+y^2+z^2} \)
Teniendo en cuenta eso aplicamos propiedades del gradiente: \( ∇(U(\vec{r})V(\vec{r})) = V(\vec{r})\; ∇(U(\vec{r})) + U(\vec{r})\;∇(V(\vec{r})) \)
Entonces \( ∇\left(\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0}\;\dfrac{\vec{P}\cdot\vec{r}}{r^3}\right) = \dfrac{1}{4\pi \epsilon_0}\left( \underbrace{∇\left(\vec{P}\cdot\vec{r}\right)}_{=\vec{P}}\;\dfrac{1}{r^3} + \left(\vec{P}\cdot\vec{r}\right)\;\underbrace{∇\left(\dfrac{1}{r^3}\right)}_{=-3\dfrac{\vec{r}}{r^5}}\right)
= \dfrac{1}{4\pi \epsilon_0}\left(\dfrac{\vec{P}}{r^3}-3\left(\vec{P}\cdot\vec{r}\right)\;\dfrac{\vec{r}}{r^5}\right)
\)
