[DSanchezC]

Muy buenas
Ando estudiando cálculo y (de nuevo) me he topado con una serie que aparenta ser sencilla, pero que se me escapa:

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{2n}{2^n}} \)

Sinceramente, no tengo ni idea de cómo calcularla.

Muchas gracias por su tiempo, ¡un saludo!

[Ignacio Larrosa]

Muy buenas
Ando estudiando cálculo y (de nuevo) me he topado con una serie que aparenta ser sencilla, pero que se me escapa:

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{2n}{2^n}} \)

Sinceramente, no tengo ni idea de cómo calcularla.

Muchas gracias por su tiempo, ¡un saludo!

Podemos poner

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{2n}{2^n}}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{n}{2^{n-1}}}= \displaystyle\sum_{k=0}^\infty{\displaystyle\frac{k+1}{2^k}} \)

Si has dado serie de potencias, la cosa es sencilla. Consideramos la función:

\( F(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^\infty{x^{k+1}} = \displaystyle\frac{x}{1-x} \)

Entonces,

\( f(x) = F'(x) =\displaystyle\sum_{k=0}^\infty{(k+1)x^k} = \left(\displaystyle\frac{x}{1-x}\right)' = \displaystyle\frac{1}{(1-x)^2}   \)

El valor de tu serie numerica es entonces

\( f\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right) = \displaystyle\sum_{k=0}^\infty{\displaystyle\frac{k+1}{x^k}} = \displaystyle\frac{1}{ \left(1 - \displaystyle\frac{1}{2}\right)^2}= 4 \)

Saludos,

[delmar]

Hola

Otra  manera, considerando que :\( \displaystyle\sum_{n=1}^k{\displaystyle\frac{2n}{2^n}}=2\displaystyle\sum_{n=1}^k{n \ (\displaystyle\frac{1}{2})^n } \)

Se observa que :   \( \displaystyle\sum_{n=1}^k{\displaystyle\frac{2n}{2^n}}=2\displaystyle\sum_{n=1}^k{n \ x^n } \)   cuando x=1/2 Ec. 1

Utilizando la identidad algebraica :

\( \displaystyle\frac{1-x^{k+1}}{1-x}=1+x+x^2+....+x^k=\displaystyle\sum_{n=0}^k{x^n} \)

Derivando respecto a x y simplificando :


\( \displaystyle\frac{1-k \ x^k-x^k+k \ x^{k+1}}{(1-x)^2}=\displaystyle\sum_{n=1}^k{k \ x^{k-1}} \)

Multiplicando por 2x

\( \displaystyle\frac{2x}{(1-x)^2} \ \ (1-k \ x^k-x^k+k \ x^{k+1})=2\displaystyle\sum_{n=1}^k{n \ x^n} \) Ec. 1

Cuando x=1/2 se tiene :

\( \displaystyle\frac{2(0.5)}{(1-0.5)^2} \ \ (1-k \ 0.5^k-0.5^k+k \ 0.5^{k+1})=\displaystyle\sum_{n=1}^k{\displaystyle\frac{2n}{2^n}} \)

Haciendo que k tienda al infinito a ambos miembros de la ecuación , y considerando que \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{k \ 0.5^k}=0 \) por ser 0.5<1  se tiene :


\( \displaystyle\frac{2(0.5)}{(1-0.5)^2}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{2n}{2^n}}=4 \)

Que coincide con la respuesta de Ignacio Larrosa

Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Tienes:

\( \displaystyle p_n = \sum_{i=1}^n \dfrac{i}{2^i} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{2^2} + \cdots \dfrac{n}{2^n}  \)

Multiplico por \( \displaystyle \dfrac{1}{2}  \) la serie mencionada y queda:

\( \displaystyle \dfrac{1}{2} \cdot p_n = \sum_{i=1}^n \dfrac{i}{2^{i+1}} = \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{2}{2^3} + \cdots \dfrac{n}{2^{n+1}}  \)

Resto a la primera  la segunda y queda:

\( \displaystyle p_n -\dfrac{1}{2} \cdot p_n = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^3} + \cdots + \dfrac{1}{2^n} - \dfrac{n}{2^{n+1}}  \)

\( \displaystyle \dfrac{1}{2} \cdot p_n = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^3} + \cdots + \dfrac{1}{2^n} - \dfrac{n}{2^{n+1}}  \)

\( \displaystyle  p_n = 2 \cdot [\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^3} + \cdots + \dfrac{1}{2^n} - \dfrac{n}{2^{n+1}} ]  \)

Y seguir desde aquí.

[Fernando Revilla]

Puede ser útil un caso general:

          \( \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(an+b)r^n=\frac{b}{1-r}+\frac{ar}{(1-r)^2}. \)

Ver Series aritmético-geométricas | Fernando Revilla.