Considere en \( \mathbb{R^2}-\left \{ 0 \right \} \) la forma elemento ángulo \( \omega=\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2} \) y considere la siguiente familia de curvas dependientes del parámetro entero \( n\in \mathbb{Z} \):
\( c_n:[0,1]\rightarrow \mathbb{R^2}-\left \{ 0 \right \}, \ c_n(t)=(cos(2\pi nt), sen(2\pi nt)) \).
Calcule la integral de línea de la forma elemento ángulo a lo largo de la curva \( c_n \), y concluya que las curvas \( c_n \) no son homotópicas en \( \mathbb{R^2}-\left \{ 0 \right \} \) para diferentes valores del parámetro \( n \).
Hola buenos días!
He intentado lo siguiente:
\( c_n^{*}(\omega)=c_n^{*}\left (\frac{x}{x^2+y^2}dy-\frac{y}{x^2+y^2}dx \right )=c_n^{*}\left ( \frac{x}{x^2+y^2}dy \right )-c_n^{*}\left ( \frac{y}{x^2+y^2}dx \right )=\left ( \frac{x}{x^2+y^2}\circ{c_ n} \right )d(y\circ c_n)-\left ( \frac{y}{x^2+y^2}\circ c_n \right )d(x\circ c_n) \)
\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = cos(2\pi nt)d(sen(2\pi nt))-sen(2\pi nt)d(cos(2\pi nt))=cos(2\pi nt)(2\pi ncos(2\pi nt)dt)-sen(2\pi nt)(-2\pi nsen(2\pi nt)dt) \)
\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 2\pi ncos^2(2\pi nt)dt+2\pi nsen^2(2\pi nt)dt=2\pi ndt \)
\( \Rightarrow \displaystyle \int_{c_n}\omega=\int_0^12\pi ndt=2\pi n \)
¿Estoy en lo correcto?¿Cómo puedo concluir que las curvas \( c_n \) no son homotópicas en \( \mathbb{R^2}-\left \{ 0 \right \} \)?
