Hola
Hola buenas a todos para ver si me pueden ayudar con este ejercicio
Si ningún punto de un conjunto \( X \) es punto de acumulación entonces se puede escoger, para cada \( x \in{X} \) una bola abierta \( B_x \) de centro en \( x \) de tal manera que para \( x\neq{y} \) en \( x \) se tenga que \( B_x \cap{B_y}=\emptyset \)
el ejercicio está tomado del libro curso de analisis volumen 2 elon lages lima
Así lo resolví:
Sean \( x \),\( y \in{ X } \) distintos como \( x \) e \( y \) no son puntos de acumulación entonces existe una bola abierta \( B_x \) con centro en \( x \) y radio \( d_1 \) tal que \( B_x \cap{X}= x \) de igual manera para \( y \) existe una bola \( B_y \) con centro en \( y \) y radio \( d_2 \) tal que \( B_y \cap{X }= y \). Sea \( c_1= max \left\{{d1 , d2}\right\} \) y \( c_2=min \left\{{d1, d2 }\right\} \) entonces tomando \( c= \displaystyle\frac{c_1-c_2}{2} \) tenemos que \( B_y \) con centro en \( x \) y radio \( c \) y \( B_x \)con centro en \( x \) y radio \( c \) son disjuntas.
Así fué como lo resolví pero el profesor me dijo que estaba mal la interpretación del problema y no entiendo por qué, si alguién me podría explicar mejor y darme una pista de como hacerlo lo agradecería.
Hay varios problemas. En primer lugar tal como has definido \( c \) podría valer cero si \( d_1=d_2 \).
En segundo lugar para escoger el radio \( c \) de la bola \( B_x \) lo haces dependender de otro punto concreto \( y \). Eso está mal; uno debe de escoger una bola \( B_x \) que sólo dependa del punto \( x \), de manera que una vez escogidas las bolas para todos los puntos de \( X \), sean todas ellas disjuntas dos a dos. Es decir no se puede ir variando la elección dependiendo de que punto \( y \) "emparejes" con \( x \).
No necesitas definir \( c \) ya que, por definición, tienes que \( B_x\cap X=\{x\} \) y \( B_y\cap X=\{y\} \), por tanto si \( x\neq y \) entonces \( B_x\cap B_y=\{x\}\cap\{y\}=\emptyset \).
Que \( B_x\cap X=\{x\} \) e \( B_y\cap X=\{y\} \) te garantiza que \( B_x\cap B_y\cap X=\emptyset \) pero no necesariamente que \( B_x\cap B_y=\emptyset. \)
Mi propuesta es que para cada \( x\in X \) consideres:
\( d_x=inf\{d(x,y)|y\in X,y\neq x\} \)
Del hecho de que \( x \) no es punto de acumulación de \( X \) deduzcas que \( d_x>0 \).
Luego toma \( B_x=B(x,d_x/3) \) (la bola de centro \( x \) y radio \( d/3 \)) y comprueba que se cumple lo pedido.
Saludos.
