[raistlin]

Hola,

Si consideramos un "cuadrado diferencial" pegado a una superficie curva, de lados a,b,c,d las componentes del tensor de Riemann se podrían definir como el transporte paralelo b,a - d,c o sea \( \triangledown{}_1\triangledown{}_2-\triangledown{}_2\triangledown{}_1 \) en derivadas covariantes, que seria \( R^i_{k12} \) contando 1, 2 como las dimensiones del "cuadrado" claro.

Mi pregunta es, entonces las componentes \( R^i_{kgg} \) del tensor deberían ser siempre cero no? ya que digamos que el transporte paralelo ( \( \triangledown{}_1\triangledown{}_1-\triangledown{}_1\triangledown{}_1 \) y  \( \triangledown{}_2\triangledown{}_2-\triangledown{}_2\triangledown{}_2 \)) se hace sobre la misma dimensión

Gracias y saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Si consideramos un "cuadrado diferencial" pegado a una superficie curva, de lados a,b,c,d las componentes del tensor de Riemann se podrían definir como el transporte paralelo b,a - d,c o sea \( \triangledown{}_1\triangledown{}_2-\triangledown{}_2\triangledown{}_1 \) en derivadas covariantes, que seria \( R^i_{k12} \) contando 1, 2 como las dimensiones del "cuadrado" claro.

Mi pregunta es, entonces las componentes \( R^i_{kgg} \) del tensor deberían ser siempre cero no? ya que digamos que el transporte paralelo ( \( \triangledown{}_1\triangledown{}_1-\triangledown{}_1\triangledown{}_1 \) y  \( \triangledown{}_2\triangledown{}_2-\triangledown{}_2\triangledown{}_2 \)) se hace sobre la misma dimensión

Sin entrar a analizar la justificación que das, es cierto que \( R^i_{kgg}=0 \)ya que el tensor de Riemann es antisimétrico en los dos primeros índices y en los dos últimos, es decir, si se intercambian primero y segundo ó tercero y cuarto cambia de signo.

Saludos.

[raistlin]

Gracias, aunque ahora estoy un poco confundido con tu respuesta, el tensor de Riemann (\( R^a_{bcd} \)) es antisimétrico en los dos últimos índices, pero no en los dos primeros, a no ser que este en esta forma \( R_{abcd} \) no?

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias, aunque ahora estoy un poco confundido con tu respuesta, el tensor de Riemann (\( R^a_{bcd} \)) es antisimétrico en los dos últimos índices, pero no en los dos primeros, a no ser que este en esta forma \( R_{abcd} \) no?

Correcto. Proposición 4.1.2 de aquí:

https://www.uam.es/otros/openmat/cursos/geodif/sections/geomivS41.pdf

Saludos.