Hola a todos alguien podria darme una idea de como resolver lo siguiente.
Sea \( ABCD \) un cuadrilatero ciclico cuyas diagonales se cortan en \( O \). Demuestra
que \( AB*BC*OD = CD*DA*BO \).
Se que tengo que usar el teorema de ptolomeo pero no logro llegar a lo que quiero demostrar. Me podrian ayudar.
Utilizando un mínimo de trigonometría es sencillo. Llamemos \( \alpha = \widehat{ ABC} = \pi - \widehat{CDA} \) por ser cíclico el cuadrilátero. Igualmente sea \( \beta = \widehat{BOC} = \widehat{DOA} \) por ser opuestos por el vértice.
El área de cada uno de los triángulos \( \triangle ABC\textrm{ y }\triangle CDA \) podemos calcularla de dos formas:
\( (ABC) = \frac{1}{2}\overline{AB}\cdot{}\overline{BC}\cdot{}\sen \alpha = \frac{1}{2}\overline{AC}\cdot{}\overline{OB}\cdot{}\sen \beta \)
\( (ACD) = \frac{1}{2}\overline{CD}\cdot{}\overline{DA}\cdot{}\sen \alpha = \frac{1}{2}\overline{AC}\cdot{}\overline{OD}\cdot{}\sen \beta \)
No hay más que dividir los segundos y terceros términos de estas igualdades, simplificar y trasponer términos para obtener la igualdad pedida.
Sigo pensando como hacerlo a partir del teorema de Ptolomeo sin usar trigonometría ...
Saludos,
