[mvm]

Hola Buenas tardes, a continuación planteo un problema de este tipo para que me orienten un poco :

Sea X una variable aleatoria que toma los valores -k,0,k con probabilidades 1/8, 3/4 y 1/8 respectivamente :

a) Calcular \( P(\left |{X-\mu}\right |\geq{2\sigma}) (\mu=E(X),\sigma^2=Var(X)) \)

b) Obtener una cota superior de la probabilidad anterior utilizando la desigualdad de Chebychef

Muchas gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

 a) Aplica las fórmulas de la media y varianza que seguro tienes por ahí:

\( \mu=-k\cdot (1/8)+0\cdot (3/4)+k\cdot (1/8)=0 \)

\( \sigma^2=(-k-\mu)^2\cdot 1/8+(0-\mu)^2\cdot (3/4)^2+(k-\mu)^2\cdot 1/8=k^2/4 \)

  Entonces tienes que hallar:

\( P(|X|\geq k )=P(X=-k)+P(X=k)=1/8+1/8)1/4 \)

 b) La desigualdad de Chebyschev dice:

\(  P(|X-\mu|\geq n\sigma)\leq \displaystyle\frac{1}{n^2} \)

 Aplícala a tu caso para n=2.

Saludos.

[mvm]

Hola Buenos días, muchas gracias por su rápida respuesta, pero me han surgido dos dudas.

1) No entiendo por qué \( P(|X|\geq{k})=P(X=-k)+P(X=k)   \)

2) En el apartado b): ¿por qué se tiene que aplicar para n=2?

Muchas gracias.
Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

1) No entiendo por qué \( P(|X|\geq{k})=P(X=-k)+P(X=k)   \)

Porque en tu caso particular las variable \( X \) sólo toma valores en \( -k,0,k \). Luego si su valor absoluto es mayor o igual que \( k \), sólo consideramos los casos \( X=k  \) ó \( X=-k \).

2) En el apartado b): ¿por qué se tiene que aplicar para n=2?

Fíjate en como es la desigualdad de Chebyschev (que papel juega el n) y fíajte que tu quieres obtner una cota para la probabilidad que has obtenido en a). Si comparas ambas expresiones debe de estar claro de donde sale el n=2.

Saludos.