Autor Tema: Deshaciendo ambigüedad en la intersección de recta y circunferencia

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16 Septiembre, 2017, 06:39
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Ignacio Larrosa

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Para evitar la confusión entre los dos puntos en que una recta corta a una circunferencia (o en que se cortan dos circunferencias) cuando estos se confunden al variar la figura, puede determinarse el segundo punto como el simétrico del primero respecto al diámetro perpendicular a la recta (o al diámetro común).

En la siguiente figura, el punto \[ P \] recorre la circunferencia circunscrita al triángulo \[ ABC \]. Su recta de Steiner, \[ r_P \], corta a la circunferencia \[ c_{AH} \] de diámetro \[ AH \] en el ortocentro \[ H \] y en otro punto \[ A' \].

Si se define \[ A' \] como la intersección de \[ r_P \] y la circunferencia \[ c_{AH} \], hay una ambigüedad, pues la recta corta en a la circunferencia también en \[ H \]. Cuando \[ A' \] coincide con \[ H \], GeoGebra puede confundir los puntos, saltando de una intersección a otra. Pulsando en el botón [ A' = ] se cambia de una definición a otra.

En la figura se traza el lugar geométrico del punto medio \[ M\textrm{ de }P\textrm{ y }A' \], que es una elipse de diámetro \[ AM_a \] que pasa por los puntos medios de las alturas \[ h_B\textrm{ y }h_C \] (los puntos diametralmente opuestos de estos últimos en la elipse, están en \[ b\textrm{ y }c \]). Cuando \[ A' \] está definido simplemente por la intersección, parte del lugar geométrico obtenido es incorrecto.

Pongo la figura tras el spoiler para no ralentizar la visualización del mensaje inútilmente.

Spoiler
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Lamentablemente seguir la pista de las intersecciones de dos cónicas generales parece algo más complicado ...

Saludos,

Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)