[manooooh]

¡Aloha! Tengo un par de dudas sobre un ejercicio que ayer la ayudante resolvió. Empecemos:

Para el grupo no abeliano de las funciones: \( f: \mathbb{R} - \{0, 1\}\longrightarrow{} \mathbb{R} - \{0, 1\} \) dado por \( (G=\{f_1 = x; \; f_2 = \displaystyle\frac{1}{x}; \; f_3 = \displaystyle\frac{1}{1 - x}; \; f_4 = 1 - x; \; f_5 = 1 - \displaystyle\frac{1}{x}; \; f_6 = \displaystyle\frac{x}{x - 1}\}; \circ{}) \) se pide:

- Los subgrupos e indicar cuáles son normales
- Dar, para todos los casos, el índice que cada uno determina
- La partición en cada caso


Hizo la tabla de \( G \) con la composición de funciones:
\( \begin{vmatrix} \circ{} & f_1 & f_2 & f_3 & f_4 & f_5 & f_6 \\ f_1 & f_1 & f_2 & f_3 & f_4 & f_5 & f_6 \\ f_2 & f_2 & f_1 & f_4 & f_3 & f_6 & f_5 \\ f_3 & f_3 & f_6 & f_5 & f_2 & f_1 & f_4 \\ f_4 & f_4 & f_5 & f_6 & f_1 & f_2 & f_3 \\ f_5 & f_5 & f_4 & f_1 & f_6 & f_3 & f_2 \\ f_6 & f_6 & f_3 & f_2 & f_5 & f_4 & f_1\end{vmatrix} \)

Hallamos los subgrupos normales (sabemos que el TRIVIAL y el IMPROPIO ya son normales porque el grupo NO es abeliano -por enunciado) (¿ustedes conocen a esos subgrupos con esos nombres?)

Neutro: \( f_1 \)
Simétricos: \( (f_1)' = f_1, \; (f_2)' = f_2, \; (f_3)' = f_5, \; (f_4)' = f_4, \; (f_5)' = f_3, \; (f_6)' = f_6 \)

Ahora buscamos a los \( (Gen(G); \; \circ{}) \) y los nombramos para trabajar más fácil:
\( H_1 = <f_1> = \{f_1\} \)
\( H_2 = <f_2> = \{f_1, \; f_2\} \)
\( H_3 = <f_3> = <f_5> = \{f_1, \; f_3, \; f_5\} \)
\( H_4 = <f_4> = \{f_1, \; f_4\} \)
\( H_5 = <f_6> = \{f_1, \; f_6\} \)

\( |G| = 6 \) (orden de \( G \)) \( \Longrightarrow{} G \) no es abeliano y no es cíclico (¿por qué no es cíclico? La definición que tengo es que un GRUPO es cíclico si \( \exists{}a \in{} G: G=<a> \). Acá me perdí)

\( |H_1| = 1\textrm{, }I = \displaystyle\frac{6}{1} = 6 \Longrightarrow{} H_1 \textrm{ es normal} \)
(\( I \) de índice)
\( |H_2| = 2\textrm{, }I = \displaystyle\frac{6}{2} = 3 \)
\( |H_3| = 3\textrm{, }I = \displaystyle\frac{6}{3} = 2\Longrightarrow{} H_3 \textrm{ es normal} \)
\( |H_4| = 2\textrm{, }I = \displaystyle\frac{6}{2} = 3 \)
\( |H_5| = 2\textrm{, }I = \displaystyle\frac{6}{2} = 3 \)
(¿Por qué solamente \( H_1 \) y \( H_3 \)? ¿\( H_3 \) es el subgrupo impropio? Sé que el primero es subgrupo normal porque es el trivial, o sea en nuestro caso es la función identidad, ¿verdad? El otro ya no sé por qué lo es )

Hallamos las particiones (para ésto, creo que hay que ver que coincidan las clases laterales izquierda y derecha):
\( H_1\textrm{ , directamente  } P_d = P_i = \{\{f_1\}, \{f_2\}, \{f_3\}, \{f_4\}, \{f_5\}, \{f_6\}\} \Longrightarrow{} H_1 \) es subgrupo normal.
(\( P_d \textrm{ y } P_i \) significan particiones a derecha y a izquierda, respectivamente)

\( H_3 \): (aclaración: como el índice de \( H_3 \) es \( 2 \), sólo basta hallar 2 clases, para no hacer cuentas de más):
   A derecha:
\( \overline{f_{1_d}} = \{f_1,\;f_3,\;f_5\} \circ{} f_1 = \{f_1 \circ{} f_1, \; f_3 \circ{} f_1, \; f_5 \circ{} f_1\} = \{f_1, \; f_3, \; f_5\} = \overline{f_{3_d}} = \overline{f_{5_d}} \) (¿por qué son iguales a las clases laterales a derecha del \( f_3 \) y \( f_5 \)?)
\( \overline{f_{2_d}} = \{f_1,\;f_3,\;f_5\} \circ{} f_2 = \{f_2, \; f_6, \; f_1\} = \overline{f_{5_d}} = \overline{f_{4_d}} \)
   A izquierda:
\( \overline{f_{1_i}} = f_1 \circ{} \{f_1,\;f_3,\;f_5\} = \{f_1, \; f_3, \; f_5\} = \overline{f_{3_i}} = \overline{f_{5_i}} \)
\( \overline{f_{2_i}} = f_2 \circ{} \{f_1,\;f_3,\;f_5\} = \{f_2, \; f_4, \; f_6\} = \overline{f_{4_i}} = \overline{f_{6_i}} \)

Luego
\( P_d = P_i \Longrightarrow{} H_3 \) es subgrupo normal.
\( P = \{\{f_1, \; f_3, \; f_5\}, \; \{f_2, \; f_3, \; f_6\}\} \).


Necesito que me aclaren esas pequeñas cosas. Gracias!!

[Luis Fuentes]

Hola

Hallamos los subgrupos normales (sabemos que el TRIVIAL y el IMPROPIO ya son normales porque el grupo NO es abeliano -por enunciado) (¿ustedes conocen a esos subgrupos con esos nombres?)

Suelen llamarse subgrupos impropios al formado sólo por el neutro (que tu llamas trivial) y al total. Es decir si \( G \) es el grupo de neutro \( e \), los subgrupos impropios son \( \{e\} \) y \( G \).

Neutro: \( f_1 \)
Simétricos: \( (f_1)' = f_1, \; (f_2)' = f_2, \; (f_3)' = f_5, \; (f_4)' = f_4, \; (f_5)' = f_3, \; (f_6)' = f_6 \)

Ahora buscamos a los \( (Gen(G); \; \circ{}) \) y los nombramos para trabajar más fácil:
\( H_1 = <f_1> = \{f_1\} \)
\( H_2 = <f_2> = \{f_1, \; f_2\} \)
\( H_3 = <f_3> = <f_5> = \{f_1, \; f_3, \; f_5\} \)
\( H_4 = <f_4> = \{f_1, \; f_4\} \)
\( H_5 = <f_6> = \{f_1, \; f_6\} \)

\( |G| = 6 \) (orden de \( G \)) \( \Longrightarrow{} G \) no es abeliano y no es cíclico (¿por qué no es cíclico? La definición que tengo es que un GRUPO es cíclico si \( \exists{}a \in{} G: G=<a> \). Acá me perdí)

Un grupo es cíclico si está generado por un sólo elemento. Es decir si \( G \) es cíclico existe un elemento \( a\in G \) de manera que cualquier otro elemento de \( G \) es de la forma \( a^n \) para algún \( n \) entero positivo. Es claro que en tu caso no esto no se cumple. Es más en general si \( G \) es finito de orden \( n \) para que sea cílcico tiene que existir un elemento de orden \( n \). Es decir, en tu caso debería de existir un \( f_i \) de orden \( 6 \), esto es, cumpliendo \( f_i^k\neq neutro \) si \( k=1,2,3,4,5 \) y \( f_i^6=neutro \). Pero no existe.

\( |H_1| = 1\textrm{, }I = \displaystyle\frac{6}{1} = 6 \Longrightarrow{} H_1 \textrm{ es normal} \)
(\( I \) de índice)
\( |H_2| = 2\textrm{, }I = \displaystyle\frac{6}{2} = 3 \)
\( |H_3| = 3\textrm{, }I = \displaystyle\frac{6}{3} = 2\Longrightarrow{} H_3 \textrm{ es normal} \)
\( |H_4| = 2\textrm{, }I = \displaystyle\frac{6}{2} = 3 \)
\( |H_5| = 2\textrm{, }I = \displaystyle\frac{6}{2} = 3 \)
(¿Por qué solamente \( H_1 \) y \( H_3 \)? ¿\( H_3 \) es el subgrupo impropio? Sé que el primero es subgrupo normal porque es el trivial, o sea en nuestro caso es la función identidad, ¿verdad? El otro ya no sé por qué lo es )

Como dices \( H_1 \) es normal porque es el subgrupo trivial.

\( H_3 \) NO es un subgrupo impropio; pero vemos que tiene índice dos: todo subgrupo de índice dos es normal. Es un resultado que suele explicarse en teoría. El motivo es sencillo: si el índice es dos sólo hay dos clases laterales (tanto a izquierda como a derecha); en ambos casos una es la clase del neutro que coincide a derecha y a izquierda por tanto la otra formada por los elementos restantes también coincide a derecha e izquierda y así el subgrupo es normal.

Respecto a \( H_2,H_3,H_5 \) tienen índice tres y por tanto a prioiri sin usar algún resultado más o analizar directamente las clases laterales a derecha y a izquierda no sabemos si son o no normales.

Hallamos las particiones (para ésto, creo que hay que ver que coincidan las clases laterales izquierda y derecha):

O si no coinciden (eso ocurrirá en los grupos NO normales) hallar por un lado las clases laterales a izquierda y por otro lado las clases laterales a derecha.

\( H_1\textrm{ , directamente  } P_d = P_i = \{\{f_1\}, \{f_2\}, \{f_3\}, \{f_4\}, \{f_5\}, \{f_6\}\} \Longrightarrow{} H_1 \) es subgrupo normal.
(\( P_d \textrm{ y } P_i \) significan particiones a derecha y a izquierda, respectivamente)

\( H_3 \): (aclaración: como el índice de \( H_3 \) es \( 2 \), sólo basta hallar 2 clases, para no hacer cuentas de más):
   A derecha:
\( \overline{f_{1_d}} = \{f_1,\;f_3,\;f_5\} \circ{} f_1 = \{f_1 \circ{} f_1, \; f_3 \circ{} f_1, \; f_5 \circ{} f_1\} = \{f_1, \; f_3, \; f_5\} = \overline{f_{3_d}} = \overline{f_{5_d}} \) (¿por qué son iguales a las clases laterales a derecha del \( f_3 \) y \( f_5 \)?)

En general si tienes \( H \) subgrupo de \( G \) y \( aH \) la clase lateral de un elemento \( a \) entonces si \( b\in aH \) las clases laterales \( aH \) y \( bH \) coinciden.

Spoiler

Nota que si \( b\in aH \) entonces \( b=ah_0 \) con \( h_0\in H \).

Entonces para cualquier otro \( h\in H \), \( bh=a(h_0h)\in aH \) y recíprocamente \( ah=ah_0h_0^{-1}h=b(h_0^{-1}h)\in bH \).

[cerrar]

Saludos.

[manooooh]

Ok, entendido!