[cristhiam]

Hola, me ayudan a calcular estos límites:

a.\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}({\displaystyle\frac{  6x  }{3x^2-4x     } .\displaystyle\frac{-3x^2+5   }{ x+2  }   }) \)

b.\( \displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}({ \displaystyle\frac{ 3x+1    }{ x^2-2    }.\displaystyle\frac{ x^2-5  }{-8    }}) \)

c.\( \displaystyle\lim_{x \to 3}({ \displaystyle\frac{ x   }{ x-3    }.\displaystyle\frac{ 7x-3  }{x^2-9    }}) \) 


intentando, en el primero:   

a.\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}({\displaystyle\frac{  6x  }{3x^2-4x     } .\displaystyle\frac{-3x^2+5   }{ x+2  }   }) \)

al remplazar obtengo una indeterminación del tipo \( \displaystyle\frac{\infty}{\infty} \)

ahora lo único que se me a ocurrido  es realizar el producto del numerador y denominador de la función en estudio:

\( \displaystyle\frac{6x(-3x^2+5)}{(3x^2-4x)(x+2)}--> \displaystyle\frac{-18x^3+30x}{3x^3+2x^2-8x} \)

..para luego

\(  \displaystyle\frac{       \displaystyle\frac{-18x^3}{x^3} +\displaystyle\frac{30x}{x^3}       }{   \displaystyle\frac{3x^3}{x^3}+ \displaystyle\frac{ 2x^2}{x^3} - \displaystyle\frac{8x}{x^3}              } \)

...simplificando, obtengo:

-6(que seria el límite)

que opinan, ¿está bien?

[ingmarov]

...
...simplificando, obtengo:

-6(que seria el límite)

que opinan, ¿está bien?

Sí, está bien.


También se puede así

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}({\dfrac{  6x  }{3x^2-4x     } .\dfrac{-3x^2+5   }{ x+2  }   })=\lim_{x \to{+}\infty}{\dfrac{6x}{3x^2(1-\frac{4}{3x})}\cdot \dfrac{-3x^2(1+\frac{5}{-3x^2})}{x(1+\frac{2}{x})}}=\lim_{x \to{+}\infty}\dfrac{-18x^3}{3x^3}\cdot\dfrac{(1+\frac{5}{-3x^2})}{(1-\frac{4}{3x})(1+\frac{2}{x})}=-6 \)


Saludos

[Ignacio Larrosa]

En realidad, puede hacerse de forma casi visual. Visto que numerador y denominador tienen el mismo grado, tres, el límite no es más que el cociente de los coeficientes principales del producto. Es decir, no necesitas hallar todo el producto, sino tan solo el término de mayor grado de cada uno:

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}({\displaystyle\frac{  6x  }{3x^2-4x     } .\displaystyle\frac{-3x^2+5   }{ x+2  }   })= \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{-18x^3 \ldots}{3x^3\ldots}}= - 6 \)

Los otros dos se resuelven también inmediatamente, considerando los grados de numerador y denominador, y en uno de los casos, los signos que toman.

Saludos,