[zimbawe]

Hola, será que me pueden ayudar con este ejercicio, muchas gracias.
Sea \( (X,d) \) y \( (Y,d) \)
Espacios metricos y
\( f:X\longrightarrow{Y} \)
se pide:
i) sea \( D: X\times{X}\longrightarrow{\mathbb{R}} \) definida por \( D(x,y)=p(f(x),f(y)) \)
¿Cuándo es D una métrica?

ii) Si \( (X,d)=(Y,p)=(\mathbb{R},d_u) \) y
\( f:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}} \)
creciente.
¿Es D métrica?

iii) sea \( f(x)=x^{3} \) cómo en (ii) ¿Es \( D \) equivalente a \( d_u \)

Gracias. De ante mano.

[Masacroso]

¿Qué función es \( p \) en la primera parte del ejercicio? Añadido: Ok, asumo que es la métrica de \( Y \). Pues ve mirando, una por una, qué características debe tener \( f \) para que \( D \) sea una métrica. Por ejemplo, el kernel de \( f \) tiene que ser cero, es decir \( f(x)=0\iff x=0 \), de otro modo no se cumpliría una de las propiedades de una métrica, etc... ¿Debería ser \( f \) inyectiva, sobreyectiva, contínua...? Cosas así son las que tienes que mirar.

Corregido: he confundido métrica con norma producto interior... no es necesario que \( f(0)=0 \).

[zimbawe]

¿Qué función es \( p \) en la primera parte del ejercicio? Añadido: Ok, asumo que es la métrica de \( Y \). Pues ve mirando, una por una, qué características debe tener \( f \) para que \( D \) sea una métrica. Por ejemplo, el kernel de \( f \) tiene que ser cero, es decir \( f(x)=0\iff x=0 \), de otro modo no se cumpliría una de las propiedades de una métrica, etc... ¿Debería ser \( f \) inyectiva, sobreyectiva, contínua...? Cosas así son las que tienes que mirar.

¿Porqué f(0)=0?
O sea por el momento he concluido que debe ser inyectiva y continua.

Inyectiva puesto que si
\( D(x,y)=p(f(x),f(y))=0 \)
Entonces, se deben cumplir estas condiciones simultáneamente.
\( f(x)=f(y) \) entonces,
\( x=y \) lo que la hace inyectiva.

Si no es continua, en un punto x, entonces
no existe \( f(x) \) luego, no está definido para cualquier y.
\( p(f(x),f(y)) \)

Asume, que debe ser sobreyectiva para que siempre exista imagen en y.

Pero esto es de manera intuitiva, quiero demostrarlo de manera formal. Gracias de ante mano.

[Masacroso]

Tienes razón Zimbawae... se me ha ido la olla y he confundido métrica y norma producto interior, de ahí lo de \( f(0)=0 \), lo cual no es necesario en una métrica.

La sobreyectividad no hace falta, ya que por definición \( f(X)\subset Y \), y además creo que la continuidad de \( f \) ¡vendría determinada por la propia métrica que estás intentando definir! Es decir: al definir \( f \) tal que \( D \) sea una métrica entonces automáticamente tenemos que \( f \) es continua bajo las métricas \( D \) y \( p \).

Para hacer una demostración formal de esto simplemente habría que comprobar que si \( f \) es inyectiva entonces se cumple que \( D \) es una métrica.

[zimbawe]

¿Y la parte 2? ¿Toda función creciente es inyectiva?

[Masacroso]

¿Y la parte 2? ¿Toda función creciente es inyectiva?

No, no toda función creciente es inyectiva. La definición de función creciente es que si \( x<y \) entonces \( f(x)\le f(y) \), es decir, una función constante sería creciente (y también decreciente) pero claramente no es inyectiva. Por eso se habla de estrictamente creciente (o estrictamente decreciente) que cambian la desigualdad no-estricta de cada definición por una desigualdad estricta.

Para el último ejercicio debes partir de la definición de métricas equivalentes.

[Luis Fuentes]

Hola

¿Y la parte 2? ¿Toda función creciente es inyectiva?

Si es estrictamente creciente obviamente si.

Saludos.