[JoseLuisGT]

Hola, me podrian ayudar con este ejercicio de inducción, lo he intentado pero me quedo atascado en la última parte porque no me da el resultado correcto, pongo en color rojo lo que creo que estoy haciendo mal. Gracias.

Demuestra por inducción: \( \displaystyle\sum_{j=2}^n{\begin{bmatrix}j\\{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}n+1\\{3}\end{bmatrix}} \)




Paso básico: P(2) \( \displaystyle\sum_{j=2}^2{}{\begin{bmatrix}2\\{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\{3}\end{bmatrix}} \)

Paso Inductivo: P(K) \( \displaystyle\sum_{j=2}^k{\begin{bmatrix}j\\{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k+1\\{3}\end{bmatrix}} \),

y demostramos P(K+1): \( \displaystyle\sum_{j=2}^{k+1}{\begin{bmatrix}j\\{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k+2\\{3}\end{bmatrix}} \),

En efecto,

\( \displaystyle\sum_{j=2}^{k+1}{\begin{bmatrix}j\\{2}\end{bmatrix}}=\displaystyle\sum_{j=2}^k{\begin{bmatrix}j\\{2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}k+2\\{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k+1\\{3}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}k+2\\{3}\end{bmatrix}} \)

[Juan Pablo Sancho]

Mira que pasa para \( n=5 \)

Ahora veo el error el símbolo que usas es para la parte entera deberías usar \( \displaystyle{m \choose n} \)

Entonces:

\( \displaystyle \sum_{j=2}^{n+1} {j \choose 2} = \sum_{j=2}^{n} {j \choose 2} + \sum_{j=n+1}^{n+1} {j \choose 2} = \sum_{j=2}^{n} {j \choose 2} + {n+1 \choose 2}  \)

Usar entonces :\( \displaystyle {m + 1 \choose n } =  {m  \choose n } + {m  \choose n -1 }  \)