[manooooh]

Hola! Tengo un pequeño problema con esta integral: la solución mía difiere en un signo con respecto a la respuesta de la guía de ejercicios. En Wolfram aplico la derivada de la respuesta y efectivamente es correcta .

\( \displaystyle\int_{}^{} x\sqrt[ ]{2-x}\;dx \)

Aplicando integración por partes:

\( u(x)=x\Longrightarrow{}du=1\;dx \)
\( dv=\sqrt[ ]{2-x}\;dx\Longrightarrow{}v(x)=\displaystyle\int_{}^{}(2-x)^{1/2}\;dx=-\displaystyle\frac{(2-x)^{3/2}}{3/2} \)

\( \displaystyle\int_{}^{}u(x)\;dv=u(x)\;v(x)-\displaystyle\int_{}^{}v(x)\;du\Longrightarrow{}\displaystyle\int_{}^{} x\sqrt[ ]{2-x}\;dx=x(-\displaystyle\frac{(2-x)^{3/2}}{3/2})-\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{(2-x)^{3/2}}{3/2}\;dx=x(-\displaystyle\frac{(2-x)^{3/2}}{3/2})+\displaystyle\frac{(2-x)^{5/2}}{15/4}+C=\boxed{-\displaystyle\frac{2}{3}x(2-x)^{3/2}+\displaystyle\frac{4}{15}(2-x)^{5/2}+C} \),
donde en realidad la respuesta es:
\( \boxed{-\displaystyle\frac{2}{3}x(2-x)^{3/2}\color{red}-\ \color{black}\displaystyle\frac{4}{15}(2-x)^{5/2}+C} \).

Gracias!

[Masacroso]

\( u(x)=x\Longrightarrow{}du=1\;dx \)
\( dv=\sqrt[ ]{2-x}\;dx\Longrightarrow{}v(x)=\displaystyle\int_{}^{}(2-x)^{1/2}\;dx=-\displaystyle\frac{(2-x)^{3/2}}{3/2} \)

\( \displaystyle\int_{}^{}u(x)\;dv=u(x)\;v(x)-\displaystyle\int_{}^{}v(x)\;du\Longrightarrow{}\displaystyle\int_{}^{} x\sqrt[ ]{2-x}\;dx=x(-\displaystyle\frac{(2-x)^{3/2}}{3/2}){\color{red}-}\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{(2-x)^{3/2}}{3/2}\;dx \)

Ahí te he marcado un error. Observa que \( v \) tiene un signo menos y la integral también.

[Juan Pablo Sancho]

Tienes :

\( \displaystyle \int x \cdot \sqrt{2-x} dx = -x \cdot \dfrac{2}{3} \cdot (2-x)^{3/2} - \int (-\dfrac{2}{3} \cdot (2-x)^{3/2}) dx  \)

Hasta ese momento lo tienes bien.

\(  =\displaystyle  -x \cdot \dfrac{2}{3} \cdot (2-x)^{3/2} + \int \dfrac{2}{3} \cdot (2-x)^{3/2}) dx  \)


\( \displaystyle  \int (2-x)^{3/2} dx = -\dfrac{2}{5}(2-x)^{5/2}  \)

Te falto sacarle el número negativo como sacaste en la integral \( \displaystyle \int (2-x)^{1/2} \ \ dx  \)

Masacroso se adelanto.

[manooooh]

Iba a escribirle a Masacroso cuando veo que aparece un cartel rojo alertando que alguien más publicó otra respuesta .

Gracias a ambos! Hubo un signo que no respeté.

[Juan Pablo Sancho]

Editado

Al revisar el ejercicio me equivoqué en la revisión y pensé que masacroso había errado en un punto nada más lejos de la verdad.

Lo del spoiler es lo mismo y no tienes ningún aporte

Spoiler

\( \displaystyle - \int v(x) \ dx = - \int (-\dfrac{(2-x)^{3/2}}{3/2} dx =  \int (\dfrac{(2-x)^{3/2}}{3/2} dx  \)

[cerrar]