Hola a todos! Hacía tiempo que quería volver a escribir pero, por tiempos de la facultad o por vago, no lo hice
Me cansé de que mi profesor de Matemática Discreta siempre dé las clases aburridísimas y con teoría que no sé si es del todo "correcta" (les aclaro que mi especialidad no es la Matemática, sino más bien Sistemas de Información, pero la encuentro muy atractiva, por eso insisto con lo de "explicar correctamente").
Como ven, voy a poner una serie de ejercicios y sus respuestas que el profesor explicó con sus propias palabras, para que me ayuden a entender si realmente está todo debidamente justificado o si se le chirla un poco la cabeza (de nuevo, mi carrera no está orientada a esta rama, pero la veo muy bonita).
(
Aclaración: pueden hacer acotaciones sobre los ejercicios que crean conveniente para entender mejor si hay alguna propiedad que no es absolutamente correcta, o simplemente rehacerla si está mal con otra teoría).
Entonces, empecemos! Lo que aparece en
rojo representa lo que no entiendo o creo mejorar.
1)
Definición de inducción completa:Spoiler
Decimos que \( A\subset{}\mathbb{N} \) es inductivo sii
- {\( 1 \)}\( \in{}A \)
- Si \( h\in{}A\Longrightarrow{}h+1\in{}A \)
El principio de inducción completa es un método de demostración que permite demostrar propiedades para conjuntos coordinables con los naturales.
Decimos que un conjunto es coordinable con \( \mathbb{N} \) si
y solamente si existe una función biyectiva entre el conjunto y \( \mathbb{N} \).
(no habló más de esa tal función biyectiva)2)
Probar \( \displaystyle\sum_{i=1}^n (2i-1)=n^2 \), \( \forall{}n\in{}\mathbb{N} \) (si no aclara \( n \), es \( \forall{}n\in{}\mathbb{N}) \):Spoiler
Por empezar, me mató esa aclaración. Luego dice "Probar
(¿no será por el principio de inducción completa?) ..." . Claramente no le pone onda a la cursada jaaaaa! Por otro lado, ¿no debería ser
\( \forall{}n\in{}\mathbb{N} : \)\( \displaystyle\sum_{i=1}^n (2i-1)=n^2 \)?
- \( n=1 \), \( \displaystyle\sum_{i=1}^1 (2i-1)=1^2\Longrightarrow{}2\cdot{}1-1=1\Longrightarrow{}1=1 \) se probó
- \( n=h \), \( \displaystyle\sum_{i=1}^h (2i-1)=h^2 \underbrace{\Longrightarrow{}}_{?} \displaystyle\sum_{i=1}^{h+1} (2i-1)=(h+1)^2 \)
Dem:
\( \displaystyle\sum_{i=1}^{h+1} (2i-1)=\displaystyle\sum_{i=1}^h (2i-1) + 2(h+1)-1\underbrace{=}_{\textrm{Por Hipótesis Inductiva}}h^2 +2h + 2 - 1=h^2 + 2h + 1 = (h+1)^2 \) se probó
3)
Probar \( (a+b)^n \geq{} a^n + b^n, \forall{}a,b\in{} \mathbb{R}_{>0}\wedge n\in{}\mathbb{N} \):
Spoiler
De vuelta, ¿las condiciones no deberían estar al principio? O sea
\( \forall{}a,b\in{} \mathbb{R}_{>0}\wedge n\in{}\mathbb{N} : \)\( (a+b)^n \geq{} a^n + b^n \)
- \( n=1 \), \( (a+b)^1 \geq{} a^1 + b^1 \Longrightarrow{} (a+b) \geq{} (a+b) \) se probó
- \( n=h \), \( (a+b)^h \geq{} a^h + b^h \underbrace{\Longrightarrow{}}_{?} (a+b)^{h+1} \geq{} a^{h+1} + b^{h+1} \)
Dem:
\( (a+b)^{h+1}=(a+b)^h(a+b)\underbrace{\geq{}}_{\textrm{Por Hipótesis Inductiva}}(a^h + b^h)(a+b)=a^ha+a^hb+b^ha+b^hb=a^{h+1}+b^{h+1}+\underbrace{a^hb}_{>0}+\underbrace{b^ha}_{>0}\geq{} a^{h+1}+b^{h+1} \) se probó
4)
Resolver: \( a_n - a_{n-1}=2n+3 \), \( a_0=1 \), \( n\geq{}1 \):Spoiler
Como es una relación de recurrencia lineal NO HOMOGÉNEA, se va a dividir la solución de la homogénea y de la particular, luego la solución general será \( a_n=a^H_n + a^P_n \) (\( H \) de homogénea y \( P \) de particular).
1º) \( a_n - a_{n-1}=(2n+3)\cdot{}1^n \) \( (1) \) (no entendí por qué agrega el \( 1^n \) a la derecha de la igualdad. Creo que es para comparar con la raíz característica)
2º) \( a_n - a_{n-1}=0 \)
\( x-1=0\Longrightarrow{}x=1\Longrightarrow{}\boxed{a^H_n=k\cdot{}1^n} \)
3º) La solución que proponemos es:
\( a^P_n=(An+B)\cdot{}n \) porque la raíz característica y el factor \( a^n \) que tiene \( f(n) \) (ese\( f(n) \) significa que \( f(n) \) no depende de \( a_n \)) son iguales. Por lo tanto NO SON LINEALMENTE INDEPENDIENTES, SON LINEALMENTE DEPENDIENTES (la dependencia o independencia lineal la vi en Álgebra. ¿Por qué nombra ese concepto en Discreta?)
\( a^P_n=An^2+Bn \) \( (2) \)
Reemplazando \( (2) \) en \( (1) \):
\( An^2+Bn-[A(n-1)^2+B(n-1)]=2n+3 \)
\( An^2+Bn-[A(n^2-2n+1)+Bn-B]=2n+3 \)
\( An^2+Bn-An^2+2An-A-Bn+B=2n+3 \)
\( 2A \)\( n \)\( -A+B \)\( = \)\( 2 \)\( n \)\( +3 \)
\( \begin{cases} 2A=2\\-A+B=3 \end{cases}\Longrightarrow{}A=1\wedge B=4 \) por lo tanto \( \boxed{a^P_n=n^2+4n} \)
Por lo tanto la SOLUCIÓN GENERAL es:
\( \boxed{a_n=k+n^2+4n} \)
\( a_0=1\Longrightarrow{}k=1 \) por lo tanto la SOLUCIÓN PARTICULAR es \( \boxed{a_n=1+n^2+4n} \)
5) Es una consulta propia: ¿por definición el \( \geq{} \) se puede reescribir como disyunción excluyente? O sea,
\( a\geq{}b\Longleftrightarrow{}a>b \; \veebar \; a=b \), ya que entiendo que nunca se darán simultáneamente ambas condiciones. ¿Me equivoco?
Y eso es todo. En realidad tengo un par de ejercicios más (sobre GRUPOS, SUBGRUPOS, etc) pero lo subiré en otro momento.
Muchas gracias!
