[mvm]

Hola, Buenas tardes : Me podrían ayudar con el siguiente problema??:

"Sea X una variable aleatoria continua con densidad :

\( f(x)=1-\left |{x}\right | \)  si  \( \left |{x}\right |\leq{1} \)
                0 en caso contrario

a)Encontrar la función de distribución de X

b) Calcular \( P(X\geq{0}) \)  y  \( P(\left |{X}\right |<1/2) \)

Muchas gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

 Reescribe la función a trozos para manejarla más cómodamente:

\( f(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & \mbox{ si }  & x<-1\\1+x & \mbox{si}& -1\leq x\leq 0 \\1-x & \mbox{si}& 0\leq x\leq 1\\0 & \mbox{si}& x>1\end{matrix} \right \)

 a) Entonces la función de distribución es:

\(  F(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^x f(t)dt \)

 Distingue los mismos trozos que en \( f(x) \) y calcula la integral.

b)  Se tiene:

\(  P(X\leq 0)=1-P(X\leq 0)=1-F(0) \)

\(  P(|X|<1/2)=P(-1/2<X<1/2)=P(X<1/2)-P(X\leq -1/2)=F(1/2)-F(-1/2) \)

 Si sigues teniendo dudas consulta.

Saludos.

P.D Fíjate que por ser una variable aleatoria continua no hay diferencia entre un "menor" y un "menor o igual".

[mvm]

Hola, muchas gracias por la respuesta, me ha quedado claro menos en un punto :

En el apartado a) si no he entendido mal, serían dos integrales :

\( \displaystyle\int_{-1}^{0} (1+x)dx  \)
\( \displaystyle\int_{0}^{1} (1-x)dx \)

Sólo es eso no se como hacer el "montaje" con las integrales.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 No. En el apartado (a) sería:

 - Si \( x<-1 \):

\(  F(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{x} f(t)dt=0 \)

 - Si \( -1\leq x\leq 0 \)

\(  F(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{x} f(t)dt=\displaystyle\int_{-1}^{x}(1+t)dt \)

 - Si \( 0< x\leq 1 \)

\(  F(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{x} f(t)dt=\displaystyle\int_{-1}^{0}(1+t)dt+\displaystyle\int_{0}^{x}(1-t)dt=F(0)+\displaystyle\int_{0}^{x}(1-t)dt \)

 - Si \( 1<x \)

\(  F(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{x} f(t)dt=1  \)

Saludos.