[Smagh]

Hola, saludos a todos!
Se me pide calcular: \( L^{-1}[\displaystyle\frac{s^2+1}{s^2-s-6}](t) \)
Para ello considero: \( F(s)=\displaystyle\frac{s^2+1}{s^2-s-6} \)
Derivando obtengo: \( F'(s)=\displaystyle\frac{-s^2-14s+1}{(s^2-s-6)^2}=\displaystyle\frac{-s^2-14s+1}{(s+2)^2(s-3)^2} \)
Aplicándole fracciones parciales a este resultado:  \( F'(s)=\displaystyle\frac{1}{(s+2)^2}-\displaystyle\frac{2}{(s-3)^2} \)
Por otro lado, se tiene que: \( F'(s)=-L[tf(t)](s) \)

Así: \( \displaystyle\frac{1}{(s+2)^2}-\displaystyle\frac{2}{(s-3)^2}=-L[tf(t)](s) \)

\( -tf(t)=L^{-1}[\displaystyle\frac{1}{(s+2)^2}](t)-L^{-1}[\displaystyle\frac{2}{(s-3)^2}](s) \)

\( -tf(t)=te^{-2t}-2te^{3t} \); aplicando que \( L[e^{at}f(t)](s)=L[f(t)](s-a) \)

\( f(t)=2e^{3t}-e^{-2t} \)

Sin embargo, la respuesta es: \( \displaystyle\frac{e^{-2t}-e^{3t}-2cos(t)}{t} \)
He revisado varias veces ya mis cálculos pero no logro ver dónde he cometido algún error por el cual no estoy obteniendo la misma respuesta que el libro 

[Abdulai]

Hola, saludos a todos!
Se me pide calcular: \( L^{-1}[\displaystyle\frac{s^2+1}{s^2-s-6}](t) \)
Para ello considero: \( F(s)=\displaystyle\frac{s^2+1}{s^2-s-6} \)
Derivando obtengo: \( F'(s)=\displaystyle\frac{-s^2-14s+1}{(s^2-s-6)^2}=\displaystyle\frac{-s^2-14s+1}{(s+2)^2(s-3)^2} \)
Aplicándole fracciones parciales a este resultado:  \( F'(s)=\displaystyle\frac{1}{(s+2)^2}-\displaystyle\frac{2}{(s-3)^2} \)
Por otro lado, se tiene que: \( F'(s)=-L[tf(t)](s) \)

Así: \( \displaystyle\frac{1}{(s+2)^2}-\displaystyle\frac{2}{(s-3)^2}=-L[tf(t)](s) \)

\( -tf(t)=L^{-1}[\displaystyle\frac{1}{(s+2)^2}](t)-L^{-1}[\displaystyle\frac{2}{(s-3)^2}](s) \)

\( -tf(t)=te^{-2t}-2te^{3t} \); aplicando que \( L[e^{at}f(t)](s)=L[f(t)](s-a) \)

\( f(t)=2e^{3t}-e^{-2t} \)

No se para qué la derivas, descomponiendo en fracciones simples  \( \dfrac{s^2+1}{s^2-s-6}= 1+\dfrac{2}{s-3}-\dfrac{1}{s+2} \;\;\longrightarrow\;\; \mathcal{L}^{-1}  = \delta(t) +2 e^{3t}-e^{\color{red}-\color{black}2t} \)

CORREGIDO: Gracias iambo

Sin embargo, la respuesta es: \( \displaystyle\frac{e^{-2t}-e^{3t}-2cos(t)}{t} \)
He revisado varias veces ya mis cálculos pero no logro ver dónde he cometido algún error por el cual no estoy obteniendo la misma respuesta que el libro 

Hay una errata en algún lado, basta "empezar" la transformada de eso, ni siquiera es una función racional.

[I am Bo]

Buenas,
hay una pequeña errata en el exponente del último sumando, debe ser negativo:

\( \mathcal{L}^{-1}  = \delta(t) +2 e^{3t}-e^{-2t} \)

[Smagh]

Gracias por la respuesta! En un principio reduje a fracciones simples la fracción inicial tal como lo hiciste, pero cuando tenía que calcular la transformada inversa de 1 no supe como proceder. Esto es debido a que en mi curso de ecuaciones diferenciales no se trata con la función delta de Dirac. Hoy consulté con mi profesor y me confirmó que la respuesta es la dada por Abdulai, sin embargo no abarcaremos este tipo de problemas.