Los números de conjunto \( (1,2,3,4,...,23,24) \), se permutan se pide:
A) mostrar que en cualquier permutación de \( P_24 \) debe haber cuatro términos consecutivos tal que todos estos sean menor a 20
Los subíndices y superíndices que constan de más de un carácter hay que encerrarlos entre llaves para que se vean correctamente en \( \LaTeX: P_{24} \).
Esta primera cuestión es fácil: ¿Cuántos números son mayores o iguales que \( 20 \)? ¿Y en cuantos grupos de 4 términos consecutivos podemos dividir cualquier permutación? Aquí tenemos el principio del palomar de Dirichlet al revés: hay un nido que queda libre seguro.
B) mostrar que en cualquier permutación debe haber tres consecutivos cuya suma al menos es 38
La suma de todos es \( \displaystyle\frac{24\cdot{}25}{2}= 300 \). Por tanto, de media, ¿cuánto suman cada uno de los ocho grupos de tres consecutivos? En algún grupo deberán sumar más que la media.
C) mostrar que en cualquier permutación debe haber cinco consecutivos cuya suma sea al menos de 61?
Si añadimos un cero, cualquier permutación podemos dividirla en cinco grupos de cinco términos consecutivos, que de media deben sumar 60. Si hay algún grupo con una suma distinta de la media, ya lo tenemos, pues si hay un grupo con una suma inferior debe haber al menos otro con una suma superior. Supongamos que no, que tenemos una permutación de los números del \( 0\ldots24 \) en la que cada grupo de cinco suma exactamente \( 60 \). Si ahora desplazamos el \( 0 \) de sitio hasta otro grupo, manteniendo en el mismo orden los demás, el grupo que contenía al cero habrá aumentado su suma. Eliminado el cero, queda una permutación con un grupo de cinco consecutivos que suma al menos \( 61 \).
Saludos,
