...
Gracias por la respuesta, me he confundido antes, para ver si me he aclarado decirme si son correctas estas expresiones:
1) \( \sqrt[ ]{(-5)^2} = \sqrt[ ]{25} = 5 \)
2) (-5) ^ (2/2) = -5
3) ((-5)^(1/2))^2 = \( (i\sqrt[ ]{5})^2 = -5 \)
Son las 3 expresiones correctas? si son así...
...entonces no es del todo cierto que:
4) [a^b]^c = a^(bc)
pues el orden importaría y no sería lo mismo primero elevar por 1/2 y luego por 2 que elevar primero por 2 y luego por 1/2 y por tanto no sería cierto 4) que yo pensaba que era una regla de la potencia básica.
Todas son correctas.
Las propiedades de las potencias se cumplen para todo a real positivo.
Saludos
Con los números negativos y/o complejos, si exponente e índice están simplificados y se considera el conjunto de valores que produce una exponenciación fraccionaria, tampoco hay problema. Quizás no haya quedado claro un punto importante:\( \sqrt[ ]{4} \) solo tiene un valor, que es \( 2 \); pero \( 4^{\frac{1}{2}} \) si que tiene dos valores: \( 2\textrm{ y }-2 \). Con esto en mente, tenemos que:
\( (-4)^{\frac{3}{2}}=
\begin{cases}
\left((-4)^3\right)^{\frac{1}{2}} = (-64)^{\frac{1}{2}} = \pm{}8i\\
\left((-4)^{\frac{1}{2}}\right)^3 = (\pm{}2i)^3 = \mp{}8i
\end{cases} \)
Si se considera en cada exponenciación fraccionaria solo el valor de menor argumento, los resultados son distintos. Si se consideran todos los valores, el conjunto de resultados obtenido es el mismo.
Saludos,
