[Smagh]

Buenas,

Estoy tratando de demostrar que si \( f(x) \) es una función continua y par y \( P_m \) es un polinomio de Legendre con m impar, entonces:

\( \displaystyle\int_{-1}^{1}P_mf(x)=0 \)

Si puedo considerar a \( f(x) \) como una combinación lineal de los polinomios de Legendre de grado par el trabajo esta prácticamente hecho, pero he ahí mi duda: ¿Toda función continua y par puede escribirse como combinación lineal de otras funciones par? Sé que toda función par en su desarrollo de Maclaurin todas las potencias serán pares, pero no sé si eso es suficiente para confirmar mi idea.

[Smagh]

Nota: Ya me he dado cuenta de lo mucho que me estaba complicando para hacer esta demostración Debido a que f(x) es par y al ser m impar, el polinomio de Legendre será una función impar, y producto de una función par con una impar da como resultado otra función impar. Luego, la integral de -N hasta N de una función impar es 0. Pero igual me gustaría aclarar la duda sobre si cualquier función y continua se puede escribir como una combinación lineal de otras funciones pares.

[robinlambada]

Hola.

¿Toda función continua y par puede escribirse como combinación lineal de otras funciones par? Sé que toda función par en su desarrollo de Maclaurin todas las potencias serán pares, pero no sé si eso es suficiente para confirmar mi idea.

Lo que está claro es que si una función par ó impar se puede poner como combinación lineal de otras, estas deben tener la misma paridad que primera, para que conserve esta propiedad.

Algo parecido que si se prueba fácilmente es que cualquier función (sin paridad) se puede poner como suma de 2 funciones, una impar y otra par:

\( f(x)=\left({\displaystyle\frac{f(x)+f(-x)}{2}}\right)+\left({\displaystyle\frac{f(x)-f(-x)}{2}}\right) \)


Siendo la función del primer paréntesis par y la del 2º impar.

Saludos.

[Smagh]

Muchas gracias, saludos!