[manooooh]

Hola a todos!

Hay una propiedad de las funciones continuas que dice:

"La suma o resta de funciones continuas es una función continua".

¿Qué ocurre con aquellas en donde el dominio de la compuesta es \( \emptyset \)? Por ejemplo:

\( f(x) = ln(-x) + \sqrt[ ]{x} \), claramente el dominio de \( f \) es \( \mathbb{D}_f = \emptyset \), por lo que no hay ningún valor en el cual analizar la continuidad en un punto de la función.

(Aclaración: se cumple la continuidad de las funciones \( ln(-x) \) y \( \sqrt[ ]{x} \) en sus respectivos dominios).

Mi pregunta es, entonces, si una función es continua en donde no haya elementos en su dominio (conjunto de partida).

¿Pueden ayudarme a esclarecer ésto?

Muchas gracias!

[Ian Bounos]

Cuando definis la suma o resta de funciones por lo general se pide que estén definidas en el mismo dominio (si no tenés que restringirlo).
Por otro lado, una función con domino vacío es trivialmente continua.

[manooooh]

Gracias por responder!

No sabía que hay que restringir funciones antes de operarlas. En este caso, no se podría restringir una con otra porque ninguna está contenida en la otra, verdad?

A esto hay que sumarle por qué decís que trivialmente es continua. Para empezar, es función?

[Ian Bounos]

Si, es una función (se llama función vacía).

cuando digo que hay que restringir me refiero a esto: si tenés dos funciones \(  f:A\rightarrow{\mathbb{R}}\;g:B\rightarrow{\mathbb{R}}  \) su suma (\(  f+g  \)) solo estaría definida en \(  A\cap{B}  \) (que en tu ejemplo es el conjunto vacío).

[manooooh]

En definitiva, una función que tenga como conjunto inicial vacío y cualquier otro conjunto (tambien como el vacío) es continua? Eso es lo que entendí.

Gracias por la aclaración!

[Fernando Revilla]

En definitiva, una función que tenga como conjunto inicial vacío y cualquier otro conjunto (tambien como el vacío) es continua? Eso es lo que entendí.

Bueno, bueno. Para conjunto inicial no vacío y final vacío, no existe función, mira Why is there no function with a nonempty domain and an empty range?. Para conjunto incial vacío, existe función pero será continua si admitimos que se puede definir en el conjunto vacío una topología, cosa que no admiten todos los matemáticos, mira por ejemplo How can I define a topology on the empty set?.

[manooooh]

Qué interesante es el mundo de las Matemáticas, aunque estudie otra cosa.

Gracias a ambos por las respuestas! Ahora me quedó claro.

[Ian Bounos]

En definitiva, una función que tenga como conjunto inicial vacío y cualquier otro conjunto (tambien como el vacío) es continua? Eso es lo que entendí.

Bueno, bueno. Para conjunto inicial no vacío y final vacío, no existe función, mira Why is there no function with a nonempty domain and an empty range?. Para conjunto incial vacío, existe función pero será continua si admitimos que se puede definir en el conjunto vacío una topología, cosa que no admiten todos los matemáticos, mira por ejemplo How can I define a topology on the empty set?.

¿Pero el vacío no es un espacio métrico?

[Fernando Revilla]

¿Pero el vacío no es un espacio métrico?

De nuevo, no existe unanimidad en el convenio. Por ejemplo: Why are metric spaces non-empty?.