[cristhiam]

Hola.

Halla los limites:

a) \(  \displaystyle\lim_{x \to{}2}{      \displaystyle\frac{  \displaystyle\frac{1}{x^2-9}}{x^2 -1}} \)

b) \(   \displaystyle\lim_{x \to{}4}{x^2-1-\sqrt[ ]{2x-8}}     \)

c) \(    \displaystyle\lim_{x \to{-}2}{x^2 -1-\displaystyle\frac{(2+x)^2-4}{x}}    \)

d) \(   \displaystyle\lim_{x \to{}2}{x^2-1-\sqrt[ ]{2x-8}}     \)

intentando:


a) \(  \displaystyle\lim_{x \to{}2}{      \displaystyle\frac{  \displaystyle\frac{1}{x^2-9}}{x^2 -1}} \)

\( \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{4-9}}{4-1} --> \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{-5}}{3}--> \displaystyle\frac{1}{-15} \)

b) \(   \displaystyle\lim_{x \to{}4}{x^2-1-\sqrt[ ]{2x-8}}     \)

\(   {4^2-1-\sqrt[ ]{2(4)-8}} --> 15 -\sqrt[ ]{0} -->15     \)


¿están bien las dos primeras?

[ingmarov]

Hola

Al a) le pusiste un 3 que no tiene, revísalo.

El b) está bien.

El c) será tan sencillo como los anteriores.

Para el d) mira qué pasa si x=2 con en el radical.

Saludos

[cristhiam]

Hola

Al a) le pusiste un 3 que no tiene, revísalo.

Saludos

¡¡¡verdad!!!

ya lo corregí

[cristhiam]

Hola

El c) será tan sencillo como los anteriores.

me queda 1, ¿esa es la respuesta?

Hola

Para el d) mira qué pasa si x=2 con en el radical.

d) \(   \displaystyle\lim_{x \to{}2}{x^2-1-\sqrt[ ]{2x-8}}     \)

\( 4-1-\sqrt[ ]{4-8} --> 3-\sqrt[ ]{-4} = INDETERMINADO \)

FACTORIZO ENTONCES: AQUI NO SE SI ESTA BIEN LO QUE HICE

\( (x^2-1)^2 -(\sqrt[ ]{2x-8})^2 \)

\( x-1-2x-8 --> -x-9 \)

el nuevo limite queda
 \(   \displaystyle\lim_{x \to{}2}{-x-9} -->-2-9 -->-11     \)

[ingmarov]

...
me queda 1, ¿esa es la respuesta?

...

Está bien 

d) \(   \displaystyle\lim_{x \to{}2}{x^2-1-\sqrt[ ]{2x-8}}     \)

\( 4-1-\sqrt[ ]{4-8} --> 3-\sqrt[ ]{-4} = INDETERMINADO \)

FACTORIZO ENTONCES: AQUI NO SE SI ESTA BIEN LO QUE HICE

\( (x^2-1)^2 -(\sqrt[ ]{2x-8})^2 \)

\( x-1-2x-8 --> -x-9 \)

el nuevo limite queda
 \(   \displaystyle\lim_{x \to{}2}{-x-9} -->-2-9 -->-11     \)

La respuesta es que x=2 no pertenece al dominio de definición de la función \( f(x)=x^2-1-\sqrt[ ]{2x-8} \) (es porque en los reales no podemos calcular la raíz cuadrada de números negativos) y por eso no tiene sentido para calcular ese límite.

saludos

[cristhiam]

pero..¿no se factoriza, para salvar el límite?
tratas de decir que ¿no tiene solución ese límite?

[ingmarov]

pero..¿no se factoriza, para salvar el límite?
tratas de decir que ¿no tiene solución ese límite?

No se resuelve nada factorizando. NO es lo mismo  \( (\sqrt{2x-8})^2 \)   que \( \sqrt{(2x-8)^2} \), el dominio del primero es \( [4,\infty] \)   y el de la segunda son los reales.

[Ignacio Larrosa]

Hola

Para el d) mira qué pasa si x=2 con en el radical.

d) \(   \displaystyle\lim_{x \to{}2}{x^2-1-\sqrt[ ]{2x-8}}     \)

\( 4-1-\sqrt[ ]{4-8} --> 3-\sqrt[ ]{-4} = INDETERMINADO \)

FACTORIZO ENTONCES: AQUI NO SE SI ESTA BIEN LO QUE HICE

\( (x^2-1)^2 -(\sqrt[ ]{2x-8})^2 \)

\( x-1-2x-8 --> -x-9 \)

el nuevo limite queda
 \(   \displaystyle\lim_{x \to{}2}{-x-9} -->-2-9 -->-11     \)

No es necesario hacer nada, porque \( \sqrt[ ]{2x-8} \) no está definido en x = 2, ni siquiera a la izquierda o a la dercha de x = 2, con lo que podrían hacerse uno de los límites laterales. Esa raíz es un número real solo para \( x \geq{} 4 \).

De todas maneras, no puedes hacer lo que tu llamas factorizar. lo que se hace en casos de límites indeterminados, que insisto no es este caso, en el que figura una diferencia en la que alguno, uno o los dos,  de sus términos son radicales cuadráticos, es multiplicar y dividir por la suma correspondiente, lo que suele denominarse su expresión conjugada. Si solo multiplicas y no divides, la expresión cambia de valor y el límite no será el que querías calcular.

Si lo hiciéramos en este caso, nos quedaría:

 \(   \displaystyle\lim_{x \to{}2}{x^2-1-\sqrt[ ]{2x-8}} =   \displaystyle\lim_{x \to{}2}\displaystyle\frac{(x^2-1)^2-\left(\sqrt[ ]{2x-8}\,\right)^2}{x^2-1+\sqrt[ ]{2x-8}} = \displaystyle\lim_{x \to{}2}\displaystyle\frac{x^4-2x^2+1-(2x-8)}{x^2-1+\sqrt[ ]{2x-8}}  \)

En el numerador no habría ningún problema para calcular su valor para \( x = 2 \), después de desarrollar, pero el denominador seguiría sin darnos un valor real, pues persiste ahí \( \sqrt[ ]{2x-8} \).

Saludos,