[Quema]

Hola quisiera ver como hicieron este paso, lo saqué de un libro.
si tengo una función real \( u \)con derivada primera positiva y se que \( E(X/X+Y\leq{k})=E(Y/X+Y\leq{k}) \) tengo
\( E[(X-Y)u`(\displaystyle\frac{X+Y}{2})]=E[u`(\displaystyle\frac{X+Y}{2})(E(X/X+Y\leq{k})-E(Y/X+Y\leq{k})] \)
cómo hizo este último paso.

gracias

[Luis Fuentes]

Hola

 mmmmm... si no me equivoco, ahí falta o sobra algo. No tiene sentido que se tenga la igualdad si a un lado de ella se condiciona y al otro no.

 Por ejemplo \( u' \) pudiera ser constante igual a 1 y entonces:

\(  E(X-Y)=E(X)-E(Y) \)

 que en general no tiene porque coincidir con condicionadas.

Saludos.

[Quema]

Hola si algo habia mal,

si tengo una función real \( u \)con derivada primera positiva y se que \( E(X/X+Y=k)=E(Y/X+Y=k) \) tengo
\( E[(X-Y)u`(\displaystyle\frac{X+Y}{2})]= \)
\( E[u`(\displaystyle\frac{X+Y}{2})(E(X/X+Y=k})-E(Y/X+Y=k)] \)

al ser \( X+Y=k \) entonces \( u`(\displaystyle\frac{X+Y}{2}) \)
es una constante, no?





gracias

[Luis Fuentes]

Hola

 Siguen sin salirme las cuentas. La expresión de la derecha es rara. ¿Aperece la esperanza de u' multiplicada a su vez por la esperanza de otra variables?. Estas se comportan como constantes luego podrían salir fuera. Pero una esperanza dentro de otra... me suena raro.

 Si condicionas a que \( X+Y=k \) si es cierto que \( u'((X+Y)/2) \) es constante.

 Por otro lado repito lo de antes, si \( u'=1 \) constante.

 Lo de la izquierda queda:

\(  E(X)-E(Y) \)

 Lo de la derecha:

\(  E(X/X+Y=k)-E(Y/X+Y=k) \)

 No tienen porqué coincidir. Más aun, bajo la hipótesis \( E(X/X+Y=k)=E(Y/X+Y=k)  \) lo de la derecha SIEMPRE es cero, pero lo de la izquierda no.

 Muy raro todo.

Saludos.

[Quema]

En realidad aplican la siguiente igualdad
\( E(X)=E(E(X/Y)) \)

[Luis Fuentes]

Hola

 Bufff... que oxidada tengo la estadística. Ya me centré. Pensando en alto:

 Estás llamando \(  E(X/Y) \) a la media de la variable aleatoria \( X_Y \) (\( X \) condicionada a \( Y \)) que a su vez es una variable aleatoria función de \( Y \).

 Entonces, claro, en concreto lo que utilizas es que:

\(  E(v(Z)E(X/Z))=\displaystyle\int v(z)E(X/Z)f(z)dz=\displaystyle\int v(z)(\displaystyle\int x \displaystyle\frac{f(x,z)}{f(z)}dx)f(z)dz=\displaystyle\int \displaystyle\int xv(z)f(x,z)dxdz=E(v(z)x) \)

 En tu caso:

\(  Z=X+Y \)

\(  v(Z)=u'((X+Y)/2) \)

 De todas formas la igualdad \( E(X/X+Y)=E(Y/X+Y) \) sigo sin saber que papel juega.

 En fin, perdona por mi torpeza y saludos.

[Quema]

El tema es el siguiente: con los mismos supuestos, definí
\( h(a)=Eu(aX+(1-a)Y) \)
Se puede demostrar que si \( E(X/X+Y)=E(Y/X+Y) \) entonces \( h(a) \)tiene un máximo en \( a=\displaystyle\frac{1}{2} \)
La demostración es que
\( h^{\prime}(\displaystyle\frac{1}{2})=Eu^{\prime}(\displaystyle\frac{X+Y}{2})(X-Y))=0 \)
y \( h^{\prime} \)es decreciente.
Esto está sacado de un trabajo de Pellerey y Samararo.