Hola, aquí un cálculo análogo, pero para \( ln(2) \), quiźas te pueda servir: http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=5546.0.
Saludos,
Émilie.
Bienvenida al foro,
Émilie. Indudablemente se resuelve mucho mejor con resolución numérica de ecuaciones, si se puede calcular con facilidad los valores de \( e^x \). Pero también puede hacerse con integración numérica, como parece sugerir el título del mensaje.
En este mensaje
Integración numérica: suma inferior, superior, trapecios, Simpson hay un applet que permite visualizar el proceso. En el solo se aprecian las cotas de error para las sumas de Riemann, pero el cálculo para la regla de Simpson es simple. Tomado de la Wikipedia,
\( \left |{E(f)}\right | = \displaystyle\frac{(b-a)h^4}{180}\max\left |{f^{(4)}(\xi}\right |, \;\xi\in{[a, b]} = \displaystyle\frac{(b-a)^5}{180n^4}\max\left |{f^{(4)}(\xi}\right |, \;\xi\in{[a, b]} \)
En nuestro caso, se obtiene fácilmente que
\( f^{(4)}(x) = \displaystyle\frac{24}{x^5} \)
y su máximo en \( [1, 9]\textrm{ es }24 \).
Nos queda entonces,
\( \left |{E(f)}\right | = \displaystyle\frac{(b-a)^5}{180n^4}\max\left |{f^{(4)}(\xi}\right |= \displaystyle\frac{8^5\cdot{24}}{180n^4}= \displaystyle\frac{65536}{15n^4}< 0.001\;\Longrightarrow{}\; n > 45.71 \)
Por ejemplo, para \( n = 50 \), la regla de Simpson da \( ln9 \approx{} 2.19725 \), y el valor real es \( 2.19722 \).
Saludos,
