Hola.
Hace poco me encontré con el siguiente problema que me pareció interesante:
Sean \( a_{1},a_{2},\dots,a_{n} \) números reales tales que para todo \( k\in\{1,\dots,n\}=:[n] \) vale que\( \displaystyle\sum_{\{i_{1},\dots,i_{k}\}\in\binom{[n]}{k}}a_{i_{1}}a_{i_{2}}\dots a_{i_{k}}\geq0. \)
Probar que \( a_{i}\geq0 \) para todo \( i\in\{1,\dots,n\}. \)\( \bullet \) Paso a aclarar la notación. Cuando escribo \( \binom{[n]}{k} \) me refiero a un subconjunto con exactamente \( k \) elementos de \( [n]:=\{1,2,\dots,n\}. \) Entonces, por ejemplo, en el caso que los números fueran \( a_{1},a_{2},a_{3}, \) las hipótesis del problema nos dicen que valen las desigualdades \( a_{1}+a_{1}+a_{3}\geq0, \) \( a_{1}a_{2}+a_{1}a_{3}+a_{2}a_{3}\geq0 \) y \( a_{1}a_{2}a_{3}\geq0. \) En este caso, se cumple (según el problema) que \( a_{1}\geq0,\;a_{2}\geq0 \) y \( a_{3}\geq0. \)
Les voy adelantando que el problema no es complicado, así que invito a todos a tratar de resolverlo y anotar,
de preferencia oculto bajo un spoiler, sus soluciones o intentos en lo que sigue de este hilo. En unos días anotaré dos soluciones de este problema (o simplemente las comentaré en caso que las soluciones que tengo en mente ya hayan aparecido en el hilo).
Saludos,
Enrique.
