[mvm]

Hola Buenas tardes, les planteo un problema de transformaciones de v.a., la verdad esto me trae de cabeza :

"Sea X la variable que nos da la puntuación obtenida al lanzar un dado. Calcular la distribución de las variables Y=X^2, Z=X^2-6x+6. Calcular las esperanzas y las varianzas de las variables Y y Z.

Muchísimas gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

 La variable X toma los valores \( \{1,2,3,4,5,6\} \) con igual probabilidad en cada punto \( 1/6 \).

 Fíjate que:

\(  P(Y=k)=P(X^2=k) \)

 Entonces la variable Y toma los valores

 \( \{1^2,2^2,3^2,4^2,5^2,6^2\}=\{1,4,9,16,25,36\} \)

 Como son todos distintos y cada uno "viene" de un valor de X, tienen igual probabilidad en cada punto \( 1/6 \).

  Si llamamos \( f(x)=x^2-6x+6 \), la variable Z toma los valores:

\(  \{f(1),f(2),f(3),f(4),f(5),f(6)\}=\{1, -2, -3, -2, 1, 6\} \)

 Fíajate que ahora hay puntos que "se reptien". Entonces:

\(  P(Z=-3)=P(X^2-6X+6=1)=P(X=3)=1/6 \)

\(  P(Z=-2)=P(X^2-6X+6=-2)=P(\{X=2\}\cup \{X=4\})=2/6 \)

\(  P(Z=1)=P(X^2-6X+6=-3)=P(\{X=1\}\cup \{X=5\})=2/6 \)

\(  P(Z=6)=P(X^2-6X+6=6)=P(X=6)=1/6 \)

 Ahora ya puedes calcular esperanza y varianza con las fórmulas usuales.

Saludos.