Autor Tema: Demostración de que pi es constante

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02 Agosto, 2017, 11:06 pm
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Eparoh

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Se que este hecho es algo ya demostrado geométricamente por una combinación de proposiciones de Euclides y Arquímedes, se que se puede demostrar mediante el análisis matemático de diversas formas o que para muchos la semejanza de circunferencias es algo axiomático, y no busco respuesta sobre esto. Lo que me gustaría saber si alguien podría ayudarme con la demostración que he planteado sobre ello (correcta según creo pues es muy parecida a la empleada por Arquimedes, aunque empleando análisis matemático en lugar de relaciones trigonométricas) pero la cual no soy capaz de formalizar.
La demostración se basa en considerar una circunferencia cualquiera de radio \( r \), sobre la cual dibujamos un polígono inscrito regular de \( n \) lados. Así, podemos crear una sucesión en función de \( n \), de la forma \( p_n = n \cdot l_n \), donde \( l_n \) será el lado de estos polígonos y dependerá del radio de la circunferencia y del número de divisiones en esta.
A partir de aquí, demostramos que dicha sucesión es acotada y monotona creciente, con lo cual converge y además lo hace al supremo del conjunto formado por los puntos de la sucesión, el cual veremos que es la propia circunferencia, pues si consideramos una cota superior menor a esta, podemos formar un polígono inscrito con mayor perímetro que dicha cota. Así, tendremos que el límite de la sucesión será la longitud de la circunferencia \( C \)
Por último, dado que \( l_n \) depende del radio, podremos expresar \( \frac{C}{r} = cte \).
Mi problema principal vino al expresar la longitud \( l_n \) en función de \( r \) y \( n \) empleando funciones trigonométricas, pero al operar con ellas me percaté de que, para trabajar con dichas funciones con el análisis matemático, debo expresar los ángulos en radianes y, por la definición de radian, estaría dando por hecho que \( \pi \) es constante, cayendo en un razonamiento circular.
Si a alguien se le ocurre alguna forma de expresar el lado de los polígonos sin emplear funciones trigonométricas, o a pesar de ello, continuar la demostración sin caer en un razonamiento circular, sería una ayuda inestimable.
Un saludo, y muchas gracias a cualquiera que tome algo de su tiempo con este pequeño problema.

03 Agosto, 2017, 11:38 am
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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Considera una circunferencia de centro \( 0 \) y radio \( 1 \) y otra de centro \( 0 \) y radio \( r \). Demuestra que si \( p_n \) es un polígono de longitud \( L \) inscrito en la primera con vértices en los puntos \( x_1,\ldots, x_n \), entonces el polígono \( p'_n \) con vértices en los puntos \( rx_1,\ldots, rx_n \) está inscrito en la segunda y su longitud es \( rL \).

Para eso no necesitas calcular la longitud de los polígonos ni en particular expresarla en función del radio. Sólo tienes que usar la definición de longitud.

Pasando al límite, deduce que si la longitud de la primera circunferencia es \( L \), la de la segunda es \( rL \). Por lo tanto, si llamas \( \pi \) a la mitad de la longitud de la primera, entonces la longitud de la segunda es \( 2\pi r \).

03 Agosto, 2017, 06:36 pm
Respuesta #2

Eparoh

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Muchas gracias por la respuesta Carlos, la demostración de la primera parte la he desarrollado como sigue:

Sea \( R \) una cierta referencia cartesiana en \( \mathbb{R}^2 \) el espacio euclídeo con la distancia usual.
La ecuación de la circunferencia de radio uno, centrada en el origen de dicha referencia será de la forma \( x^2 +y^2 =1 \).
Así, si expresamos los \( n \) vértices del polígono de \( n \) lados inscrito en la circunferencia en dicha referencia como
\( (x_{i1}, x_{i2}), i=1, \cdots, n \)
Tendremos que se cumple
\( x_{i1}^2 + x_{i2}^2 = 1, i=1, \cdots, n  \)
Por tanto, es obvio que se cumple
\( (rx_{i1})^2 + (rx_{i2})^2 = r^2(x_{i1}^2 + x_{i2}^2)=r^2 \)
Demostrando así que el segundo polígono estará inscrito en la circunferencia de radio \( r \).
Por otro lado, tenemos que si denominamos por \( L \) a la longitud del polígono uno, se tiene
\( L=d(x_n, x_1) + \sum_{i=1}^{n-1} d(x_i, x_{i+1}) \)
Y, de nuevo
\( d(rx_n, rx_1) + \sum_{i=1}^{n-1} d(rx_i, rx_{i+1}) = rd(x_n, x_1) + \sum_{i=1}^{n-1} rd(x_i, x_{i+1}) = rL \)
Mi problema ahora es que no tengo claro como pasar correctamente esto al límite, ni si es necesario probar la existencia de dicho límite o es algo que consideramos por definición de circunferencia... Me pierdo bastante en esta parte, si pudieras aclararmelo sería genial.
Un saludo, y muchísimas gracias por tu tiempo.

03 Agosto, 2017, 07:06 pm
Respuesta #3

Carlos Ivorra

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Mi problema ahora es que no tengo claro como pasar correctamente esto al límite, ni si es necesario probar la existencia de dicho límite o es algo que consideramos por definición de circunferencia...

Tienes una sucesión \( \{p_n\} \) de polígonos inscritos en la circunferencia de radio 1, cada uno de ellos con longitud \( L(p_n) \). Tú mismo has dicho antes:

A partir de aquí, demostramos que dicha sucesión es acotada y monotona creciente, con lo cual converge y además lo hace al supremo del conjunto formado por los puntos de la sucesión, el cual veremos que es la propia circunferencia, pues si consideramos una cota superior menor a esta, podemos formar un polígono inscrito con mayor perímetro que dicha cota. Así, tendremos que el límite de la sucesión será la longitud de la circunferencia \( C \)

Se supone que tienes que demostrar eso sin necesidad de trigonometría. De hecho, eso es válido para cualquier sucesión de poligonales inscrita en cualquier curva compacta de clase \( C^1 \).

Una vez tienes que existe \( \lim_{n\rightarrow \infty}L(p_n)=2\pi \) (la segunda igualdad por definición de \( \pi \)), sólo tienes que usar que

\( \lim_{n\rightarrow \infty}L(rp_n)=\lim_{n\rightarrow \infty}rL(p_n)=r\lim_{n\rightarrow \infty}L(p_n)=2\pi r \), por una propiedad elemental de los límites, que dice que el límite de una constante por una sucesión convergente es la constante por el límite de la sucesión.

03 Agosto, 2017, 08:32 pm
Respuesta #4

Eparoh

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Muchas gracias por todo.
Por tu comentario sobre curvas convexas de clase \( C^1 \) creo que aun no dispongo de las herramientas matemáticas necesarias para terminar la demostración de una manera simple. O al menos, no encuentro la forma de acotar la sucesión (lo intenté por reducción al absurdo, suponiendo que alguna de las poligonales inscrita tuviera una longitud mayor a la de la circunferencia, e intentando ver como entonces alguno de los vértices no pertenecería a la circunferencia, pero no consigo avanzar), ni mucho menos para demostrar la monotonía.
Supongo que tras cursar asignaturas de introducción a la geometría diferencial seré capaz de verlo, ¿cierto?
Un saludo, y de nuevo, gracias por tu tiempo.

03 Agosto, 2017, 09:22 pm
Respuesta #5

Carlos Ivorra

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Más que geometría diferencial, lo que necesitas es un poco de cálculo diferencial e integral. Mira, por ejemplo, el teorema 5.24 de aquí:

http://www.uv.es/ivorra/Libros/Analisis2.pdf

Las poligonales convergen a la integral del módulo de la derivada de la curva.

03 Agosto, 2017, 09:37 pm
Respuesta #6

Eparoh

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Gracias por la respuesta, investigaré sobre ello, pues de momento tampoco he tocado demasiado el análisis multivariable no lineal.
Pd. Tus libros me parecen increibles, los he consultado un par de veces, y he leido bastante sobre el de teoría de conjuntos NBG, y me parece sublime la tarea que haces, y compartirlos de una forma tan altruista. Gracias por ello también.

26 Junio, 2018, 07:04 pm
Respuesta #7

Eparoh

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Hola, reabro el tema pues hace poco volví a tratar de demostrar lo que aquí planteé, ahora con mayor conocimiento sobre todo lo que Carlos me comentó y sigo teniendo una última duda.

Se supone que tienes que demostrar eso sin necesidad de trigonometría. De hecho, eso es válido para cualquier sucesión de poligonales inscrita en cualquier curva compacta de clase \( C^1 \)

Ya vi porque esto es cierto y como con todo lo dicho y esto último ya es sencillo terminar lo que planteé. Él problema que me surge ahora es como puedo ver que la circunferencia es una curva de clase  \( \mathcal{C}^1 \) sin emplear las funciones trigonométricas.
¿Existe alguna parametrización de ésta, que sin emplear las funciones trigonométricas la cubra entera y sea una función diferenciable con continuidad?
O, algo que también resolvería mi problema pues no preciso de conocer dicha parametrización, ¿existe alguna forma de demostrar que la circunferencia es, efectivamente, una curva de clase \( \mathcal{C}^1 \) sin emplear dichas funciones?
Un saludo, y muchas gracias por sus respuestas.

26 Junio, 2018, 07:43 pm
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

 El ser una curva de clase 1 es una propiedad local. Puede parametrizarla a trozos:

 La zona Norte: \( f_N:(-1,1)\to S^1,\quad F_N(t)=(t,\sqrt{1-t^2}) \)
 La zona Sur: \( f_S:(-1,1)\to S^1,\quad F_S(t)=(t,-\sqrt{1-t^2}) \)
 La zona Este: \( f_E:(-1,1)\to S^1,\quad F_E(t)=(\sqrt{1-t^2},t) \)
 La zona Oeste: \( f_O:(-1,1)\to S^1,\quad F_n(t)=(-\sqrt{1-t^2},t) \)

Saludos.

27 Junio, 2018, 06:05 pm
Respuesta #9

Eparoh

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Muchas gracias por todas las respuestas.
Os dejo la demostración que saqué de todo lo que me comentaron y espero que me indiquen si todo es correcto.

Notación
Spoiler
Denotaré por:
\( r \) el radio de la circunferencia.
\( \alpha_1^r:(-r,r)\to S_r^1, \textrm{ con } \alpha_1^r(t)=(t,\sqrt{r^2-t^2}) \)
\( \alpha_2^r:(-r,r)\to S_r^1, \textrm{ con } \alpha_2^r(t)=(\sqrt{r^2-t^2},t) \)
\( \alpha_3^r:(-r,r)\to S_r^1, \textrm{ con } \alpha_3^r(t)=(t,-\sqrt{r^2-t^2}) \)
\( \alpha_4^r:(-r,r)\to S_r^1, \textrm{ con } \alpha_4^r(t)=(-\sqrt{r^2-t^2},t) \)
\( \mathbb{P}_r  \) el conjunto de todas las poligonales inscritas en la circunferencia de radio \( r \).
\( L(\mathbb{P}_r) \) el conjunto formado por las longitudes de cada poligonal de \( \mathbb{P}_r \).
\( L_r=\sup\{L(\mathbb{P}_r)\} \) que, en caso de ser finito, será la longitud de la circunferencia.

Por último, sea \( P=\{x_0=-\frac{r\sqrt{2}}{2}, \cdots, x_n=\frac{r\sqrt{2}}{2}\} \) una partición cualquiera de \( \left[ -\frac{r\sqrt{2}}{2}, \frac{r\sqrt{2}}{2}\right] \) denotaremos por:

\( L(\alpha_i,P) \) la longitud de la poligonal con vértices en \( \alpha_i(x_j) \) siendo \( i=1, \cdots, 4 \), \( j=1, \cdots, n \)
\( S_i^r=\sup\{L(\alpha_i,P)\} \)
[cerrar]

En primer lugar, puesto que cada \( \alpha_i \) es una curva parametrizada diferenciable definida en \( (-1,1) \) tenemos que si denotamos por

\( P_n^r=\{x_0=-\frac{r\sqrt{2}}{2}, x_1=x_0+\nabla_r, x_2=x_0+2\nabla_r, \cdots, x_n=x_0+n\nabla_r=\frac{r\sqrt{2}}{2}\} \), siendo \( \nabla_r=\frac{r\sqrt{2}}{n} \)

se cumple que existe el siguiente límite y además se da la igualdad
\( S_i^r=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\sum_{j=1}^n{ \left\|{\alpha_i^r(x_j)-\alpha_i^r(x_{j-1})}\right\|}} \)

Ahora, veamos que \( \displaystyle\sum_{i=1}^4{S_i^r} \geq L_r \), lo cual nos garantiza pues que la longitud de la circunferencia es finita.
Para ello supongamos que \( L_r > \displaystyle\sum_{i=1}^4{S_i^r} \) y denotamos \( \varepsilon=L_r-\displaystyle\sum_{i=1}^4{S_i^r} >0 \).
Por la definición de \( L_r \) tenemos que existe una cierta \( K \in \mathbb{P}_r \) tal que \( L_r - L(K) < \varepsilon \) de donde concluimos que \( L(K)>\displaystyle\sum_{i=1}^4{S_i^r} \).
Dividamos ahora \( K \) en cuatro partes del siguiente modo:

Spoiler
Sea \( k=\{y_0, \cdots, y_n\} \) el conjunto ordenado de vértices de \( K \).
Por ser \( K \) un polígono inscrito en la circunferencia se da que para cada \( y_j \) existe un cierto \( t_j \in \left[-\frac{r\sqrt{2}}{2}, \frac{r\sqrt{2}}{2} \right] \) tal que \( y_j=\alpha_i(t_j) \) para algún \( i=1, \cdots, 4 \).
Además, denotamos los vértices de modo que se cumpla que \( y_0 \in \{\alpha_1(t): t \in \left[-\frac{r\sqrt{2}}{2}, \frac{r\sqrt{2}}{2} \right]\} \) y, si se da que \( y_j \) también pertenece a dicho conjunto, entonces si denotamos \( y_j=(x_j^1,x_j^2) \)se da \( x_0^1<x_j^1 \).
Ahora definimos:
\( k_1=\{p_1, y_0, \cdots, y_{n_1}, p_2\} \)
\( k_2=\{p_2, y_{n_1+1}, \cdots, y_{n_2}, p_3\} \)
\( k_3=\{p_3, y_{n_2+1}, \cdots, y_{n_3}, p_4\} \)
\( k_4=\{p_4, y_{n_3+1}, \cdots, y_n, p_1\} \)
donde
\( p_1=\left[ -\frac{r \sqrt{2}}{2}, \frac{r \sqrt{2}}{2} \right] \)
\( p_2=\left[ \frac{r \sqrt{2}}{2}, \frac{r \sqrt{2}}{2} \right] \)
\( p_3=\left[ \frac{r \sqrt{2}}{2}, -\frac{r \sqrt{2}}{2} \right] \)
\( p_4=\left[- \frac{r \sqrt{2}}{2}, -\frac{r \sqrt{2}}{2} \right] \)
Denotaremos por \( K_i \) también a las poligonales formadas por los puntos de \( k_i \) y así tenemos que

\( \displaystyle\sum_{i=1}^4{L(K_i)}=  \left\|{p_1-y_0}\right\| + \displaystyle\sum_{j=1}^{n_1}{ \left\|{y_j-y_{j-1}}\right\|} +  \left\|{y_{n_1}-p_2}\right\|             +                \left\|{p_2-y_{n_1+1}}\right\| + \displaystyle\sum_{j=n_1+1}^{n_2}{ \left\|{y_j-y_{j-1}}\right\|} +  \left\|{y_{n_2}-p_3}\right\|            +                   \left\|{p_3-y_{n_2+1}}\right\| + \displaystyle\sum_{j=n_2+1}^{n_3}{ \left\|{y_j-y_{j-1}}\right\|} +  \left\|{y_{n_3}-p_4}\right\|              + \)
 \( + \left\|{p_4-y_{n_3+1}}\right\| + \displaystyle\sum_{j=n_3+1}^{n}{ \left\|{y_j-y_{j-1}}\right\|} +  \left\|{y_{n}-p_1}\right\| \geq \displaystyle\sum_{j=1}^{n_1}{ \left\|{y_j-y_{j-1}}\right\|} + \displaystyle\sum_{j=n_1+1}^{n_2}{ \left\|{y_j-y_{j-1}}\right\|} + \displaystyle\sum_{j=n_2+1}^{n_3}{ \left\|{y_j-y_{j-1}}\right\|} + \displaystyle\sum_{j=n_3+1}^{n}{ \left\|{y_j-y_{j-1}}\right\|} +  \left\|{p_1 - y_0}\right\| +  \left\|{y_n - p_1}\right\| \geq
\displaystyle\sum_{j=1}^n{\left\|{y_j-y_{j-1}}\right\|} +  \left\|{y_n - y_0}\right\| =  \)
\( =L(K)  \)
[cerrar]

Así se da que  \( \displaystyle\sum_{i=1}^4{L(K_i)} \geq L(K)>\displaystyle\sum_{i=1}^4{S_i^r} \) luego debe existir un \( j \in \{1, 2, 3, 4\} \) tal que \( L(K_j)>S_j \) y esto es una contradicción puesto que \( L(K_j) \in \{L(\alpha_j,P)\} \).

Continuemos ahora demostrando que realmente se da la igualdad \( L_r=\displaystyle\sum_{i=1}^4{S_i^r} \).
Dado que sabemos que \( L_r \leq \displaystyle\sum_{i=1}^4{S_i^r} \), supongamos por reducción al absurdo que se da \( L_r < \displaystyle\sum_{i=1}^4{S_i^r} \).
De nuevo denotamos por \( \varepsilon=\displaystyle\sum_{i=1}^4{S_i^r}-L_r >0 \) y por la definición de \( S_i^r \) tenemos que existe una partición \( P \) de \( \left[-\frac{r\sqrt{2}}{2}, \frac{r\sqrt{2}}{2}\right] \) tal que \( S_i^r - L(\alpha_i,P)<\frac{\varepsilon}{4} \).
Así, \( \displaystyle\sum_{i=1}^4{S_i^r}-\displaystyle\sum_{i=1}^4{L(\alpha_i,P)}<\varepsilon \) de donde concluimos que \( \displaystyle\sum_{i=1}^4{L(\alpha_i,P)} > L_r \).
Esto último es la contradicción deseada puesto que \( \displaystyle\sum_{i=1}^4{L(\alpha_i,P)} \in L(\mathbb{P}_r) \).

Ahora que tenemos garantizada la existencia definimos para la longitud de la circunferencia de radio unidad \( L_1:=2\pi \).

Demostraremos a continuación que para cualquier \( r>0 \) se cumple que si \( x_i \in P_n^r \) entonces \( \bar{x}_i \in P_n^1 \) y además \( \alpha_j^r(x_i)=r\alpha_j^1(\bar{x}_i) \) para cada \( j=1, \cdots, 4 \), siendo \( \bar{x}_i=\frac{1}{r}x_i \).
Efectivamente si \( x_i \in P_n^r \) tenemos que
\( x_i=-\frac{r\sqrt{2}}{2}+i\frac{r\sqrt{2}}{n}=r\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{n}\right) \)
y claramente \( \bar{x}_i=-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{n} \) pertenece a \( P_n^1 \).
La segunda parte la demostraremos para \( j=1 \) pues es idéntica en los otros tres casos.

\( \alpha_1(x_i)=(x_i,\sqrt{r^2-{x_i}^2})=(r\bar{x}_i,\sqrt{r^2-{(r\bar{x}_i)}^2})=r(\bar{x}_i,\sqrt{1-{\bar{x}_i}^2})=r\alpha_1^1(\bar{x}_i) \)

Para finalizar veamos que \( L_r=rL_1 \) de donde concluimos, como queríamos demostrar, que \( \dfrac{L_r}{r}=2\pi \).

\( L_r=\displaystyle\sum_{i=1}^4{S_i^r}=\displaystyle\sum_{i=1}^4{\left(\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\sum_{j=1}^n{ \left\|{\alpha_i^r(x_j)-\alpha_i^r(x_{j-1})}\right\|}}\right)}=\displaystyle\sum_{i=1}^4{\left(\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\sum_{j=1}^n{ \left\|{r\alpha_i^1(\bar{x}_j)-r\alpha_i^1(\bar{x}_{j-1})}\right\|}}\right)}=r\displaystyle\sum_{i=1}^4{\left(\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\sum_{j=1}^n{ \left\|{\alpha_i^1(\bar{x}_j)-\alpha_i^1(\bar{x}_{j-1})}\right\|}}\right)}=rL_1 \)

Un saludo y nuevamente muchas gracias por todo.

EDITO: Pongo en spoiler un error al denotar una parte que es bastante engorrosa de escribir, aunque la idea previa que utilicé intuitivamente era la misma y no cambia nada.