Hola,
Para llegar al tensor de Riemann, la curvatura en una superficie se puede definir como \( lim_{a,b\rightarrow{0}}\displaystyle\frac{P_4P_3P_2P_1(\vec{v})-\vec{v}}{ab} \) siendo P los transportes paralelos de un vector a lo largo de las 4 curvas que forman un "paralelogramo" cerrado (alguna explicación sobre eso?)
El operador derivada cruzada se puede definir como \( R(\partial{}_1,\partial{}_2)=\triangledown{}_\partial{}_1|_p\triangledown{}_\partial{}_2 - \triangledown{}_\partial{}_2|_p\triangledown{}_\partial{}_1 \)
definimos un campo V con \( \vec{v}=V|_p \)
hacemos que en el "paralelogramo" la curva c2 sea una geodésica para que \( \triangledown{}_\partial{}_2V=0 \) con lo que quedaría:
\( R(\partial{}_1,\partial{}_2)= - \triangledown{}_\partial{}_2|_p\triangledown{}_\partial{}_1V=-lim_{b\rightarrow{0}}\displaystyle\frac{P_4(\triangledown{}_\partial{}_1|_{p4}V)-\partial{}_1|_pV}{b} \)
No entiendo en ese paso el porque del termino \( \partial{}_1|_pV \) y por que se anula en el siguiente paso:
\( R(\partial{}_1,\partial{}_2)=-lim_{ab\rightarrow{0}}\displaystyle\frac{P_4(P_3(V|_{p3}))-V|_{p4})}{ab} \)
Si alguien me lo puede explicar x favor? también agradecería la explicación completa con dibujitos si alguien tiene tiempo..
Gracias y saludos
