Tengo este ejercicio pero con inducción no logro avanzar mucho :/ dice así:
Si \( x_1,x_2,...,x_n \) son números positivos y si \( y_k= \frac{1}{x_k} \) demostrar que \( (\displaystyle\sum_{k=1}^n x_k) * (\displaystyle\sum_{k=1}^n y_k) \ge n^2 \)
Espero puedan ayudarme, gracias.
Veamoslo,
Para n = 1 es cierto: \( x_1\cdot{\displaystyle\frac{1}{x_1}} = 1 \geq{} 1^1 \)
Supongamos entonces que es cierto para un cierto n y comprobemos que en ese caso también lo es para n + 1.
Suponemos que \( \displaystyle\sum_{k=1}^n x_k \displaystyle\sum_{k=1}^n \displaystyle\frac{1}{x_k} \ge n^2 \)
Entonces
\( \left(\displaystyle\sum_{k=1}^n x_k + x_{n+1}\right) \left(\displaystyle\sum_{k=1}^n \displaystyle\frac{1}{x_k} + \displaystyle\frac{1}{x_{n+1}}\right) \)
\( = \displaystyle\sum_{k=1}^n x_k \displaystyle\sum_{k=1}^n \displaystyle\frac{1}{x_k} + x_{n+1}\displaystyle\sum_{k=1}^n \displaystyle\frac{1}{x_k} + \displaystyle\frac{1}{x_{n+1}} \displaystyle\sum_{k=1}^n x_k + x_{n+1}\displaystyle\frac{1}{x_{n+1}} \)
\( \geq{}n^2 + \displaystyle\sum_{k=1}^n{}\left(x_{n+1}x_k + \displaystyle\frac{1}{x_{n+1}}\displaystyle\frac{1}{x_k}\right) + 1 \)
\( \geq{}n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2 \) (q.e.d.)
En el penúltimo paso he usado que
\( x\cdot{}y + \displaystyle\frac{1}{x}\displaystyle\frac{1}{y}\geq{}2,\textrm{ para }x, y > 0 \)
Lo que se prueba fácilmente:
\( x\cdot{}y + \displaystyle\frac{1}{x}\displaystyle\frac{1}{y}\geq{}2\; \Leftrightarrow{}\;x^2y^2 + 1 \geq{} 2x\cdot{y} \)
\( \Leftrightarrow{}\;x^2y^2 -2x\cdot{}y + 1 = (x\cdot{}y-1)^2\geq{}0 \)
Y lo último es siempre cierto.
Saludos,
