Hola,
dada la sucesión \( 1^x, 2^x, 3^x, 4^x, \ldots, n^x, {(n+1)}^x \) quiero obtener la diferencia entre el término general y su antecesor.
Voy a llamar \( \Delta(n)=a_{n+1}-a_{n} \) a esa diferencia, que será distinta dependiendo del valor de \( x \).
Para \( x=0 \longrightarrow \Delta_0={(n+1)}^0-n^0=0 \)
Para \( x=1 \longrightarrow \Delta_1={(n+1)}^1-n^1=1 \)
Para \( x=2 \longrightarrow \Delta_2={(n+1)}^2-n^2=2n+1 \)
Para \( x=3 \longrightarrow \Delta_3={(n+1)}^3-n^3=3n^2+3n+1 \)
\( \vdots \)
Para \( x=m \longrightarrow \Delta_m={(n+1)}^m-n^m=\displaystyle\sum_{k=0}^m{\displaystyle\binom{m}{k}n^{m-k}}-n^m=\displaystyle\sum_{k=1}^m{\displaystyle\binom{m}{k}n^{m-k}} \)
Por ejemplo, para \( x=7 \) tenemos que la diferencia entre términos es:
\( \Delta_7=\displaystyle\sum_{k=1}^7{\displaystyle\binom{7}{k}n^{7-k}}=\displaystyle\binom{7}{1}n^6+\displaystyle\binom{7}{2}n^5+\displaystyle\binom{7}{3}n^4+\displaystyle\binom{7}{4}n^3+\displaystyle\binom{7}{5}n^2+\displaystyle\binom{7}{6}n+\displaystyle\binom{7}{7}=7n^6+21n^5+35n^4+35n^3+21n^2+7n+1 \)
Si queremos conocer la diferencia entre el quinceavo y dieciseisavo términos:
\( \Delta_7(15)=a_{16}-a_{15}=16^7-15^7=7\cdot{15^6}+21\cdot{15^5}+35\cdot{15^4}+35\cdot{15^3}+21\cdot{15^2}+7\cdot{15}+1=97.576.081 \)
No creo que sea muy útil lo que he hecho pero estaba aburrido y he echado el rato jugando con la sucesión
Me parece muy curioso que la diferencia entre los cuadrados de los números naturales sean los números impares.
Saludos.
