[magmerli]

Hola compañeros.

Estoy estudiando algunas construcciones geometricas con regla y compás y me surge una duda. Lo que he leido hasta ahora es que los griegos encontraron la manera de construir el pentágono (pero fue a partir del lado de la figura). Gauss encontró la manera de construir el heptadecágono y fué lo que le impulsó a estudiar matemáticas (pero fue a partir del radio de la circunferencia). Pero por lo que veo, estas construcciones no son comparables, no? Me explico:

La construcción del pentagono parte de un lado dado. A partir de la longitud del lado, se construye un segmento de longitud \( 1+\sqrt[ ]{5} \) que es la longitud de una diagonal. El heptadecágono se construye a partir del radio de la circunferencia circumscrita. Entonces, si una construcción parte del lado de la figura y otra construcción parte del radio de la circunferencia circumscrita, estamos hablando de dos problemas distintos, no? Mi pregunta és:

• Hay alguna construccion del pentagono a partir del radio de la circunferencia circumscrita o es una construcción impossible con regla y compás?
• Hay alguna construccion del heptadecágono a partir del lado de la figura o es una construcción impossible con regla y compás?
  

Leo en una revista que los griegos sabian construir el triangulo, cuadrado, pentagono, hexagono, pero no encontraban una manera de construir el heptágono. Creo que fué Gauss que demostro que no habia tal manera, pero para mi la construcción a partir del lado o del radio son dos problema distintos. Lo veis así? Que opináis?

Hay alguna manera de pasar de una construcción a partir del lado a una construcción a partir del radio? Será trivial y no lo estoy viendo?

PD: Es mi primera aportación al foro. Muchas gracias.

[Carlos Ivorra]

Hay alguna manera de pasar de una construcción a partir del lado a una construcción a partir del radio? Será trivial y no lo estoy viendo?

Es trivial. Lo único que importa para construir un polígono regular de \( n \) lados es ser capaz de construir un ángulo de \( 2\pi/n \) radianes.

Si has construido un polígono regular a partir de su lado, puedes calcular su centro, luego trazar las semirrectas que unen el centro con los vértices, luego trazas una circunferencia desde el centro del polígono con el radio que quieras y, al unir los puntos donde ésta corta a las semirrectas, tienes otro polígono regular con el radio deseado.

Recíprocamente, si has construido un polígono regular a partir de su radio, considera un triángulo (isósceles) T que una su centro con dos vértices consecutivos. Ahora toma un segmento arbitrario, transporta sobre sus extremos los ángulos iguales del triángulo T y así formarás otro triángulo semejante T', cuyos lados iguales son el radio de un polígono regular cuyo lado es el segmento arbitrario de partida. Sólo tienes que trazar una circunferencia con dicho radio y cortarla con segmentos iguales al lado para tener el polígono deseado.

[Ignacio Larrosa]

Hola compañeros.

Estoy estudiando algunas construcciones geometricas con regla y compás y me surge una duda. Lo que he leido hasta ahora es que los griegos encontraron la manera de construir el pentágono (pero fue a partir del lado de la figura). Gauss encontró la manera de construir el heptadecágono y fué lo que le impulsó a estudiar matemáticas (pero fue a partir del radio de la circunferencia). Pero por lo que veo, estas construcciones no son comparables, no? Me explico:

La construcción del pentagono parte de un lado dado. A partir de la longitud del lado, se construye un segmento de longitud \( 1+\sqrt[ ]{5} \) que es la longitud de una diagonal. El heptadecágono se construye a partir del radio de la circunferencia circumscrita. Entonces, si una construcción parte del lado de la figura y otra construcción parte del radio de la circunferencia circumscrita, estamos hablando de dos problemas distintos, no? Mi pregunta és:

Bienvenido magmerli. Para complementar la precisa y completa respuesta de Carlos Ivorra, te adjunto una construcción directa del pentágono inscrito con regla y compás:



Lo que viene a continuación del paso 9, volviendo a pulsar la tecla de avance, es simplemente la indicación de como pueden calcularse las razones trigonométricas del ángulo de \( 36^\circ{} \).

Saludos,