Hola raistlin.
Ahora si cambiamos la función por un campo de vectores W tenemos la definición de derivada covariante (supongo que el objetivo es tener un campo de vectores coordenados propios en el punto y olvidarse de las coordenadas generales, correcto?)
\( \triangledown{}_vW=lim_{t\rightarrow{0}}\displaystyle\frac{W(p+vt)-W(p)}{t} \) aquí no entiendo muy bien el concepto de la pendiente
Si \( W \) es un campo vectorial sobre una varidad \( M, \) observa que no tiene sentido la diferencia \( W(p+vt)-W(p), \) pues \( W(p) \) pertenece al espacio tangente a \( M \) en \( p, \) es decir \( T_{p}M, \) mientras que \( W(p+tv) \) no pertenece a ese espacio. De hecho la expresión misma \( p+tv \) tampoco tiene sentido en una variedad general, pues al no tener estructura de espacio vectorial, dado un punto \( p\in M \) y un vector \( v \) (¿en \( T_{p}M \)?) no está definida la suma \( p+tv. \)
En una variedad general, para hacer la derivación covariante hay que tener una curva \( c:I\to M \) en la variedad, sobre la que se va a hacer la derivada covariante. Luego hay que tener un campo \( W \) a lo largo de esta curva. Observa que con estos dos dados ya tienen sentido expresiones como \( V(t_{0}), \) si \( t_{0}\in I, \) o \( W(t_{0}+t) \) para todo \( t \) tal que \( t+t_{0}\in I. \) Estas expresiones son las que reemplazan a las expresiones \( W(p+tv) \) que escribiste.
Además de esto, aún con los dados anteriores, no podemos hacer algo como \( \lim_{t\to t_{0}}\frac{W(t_{0}+t)-W(t_{0})}{t-t_{0}}, \) pues la diferencia \( W(t_{0}+t)-W(t_{0}) \) sigue sin tener sentido. En este caso \( W(t_{0})\in T_{c(t_{0})}M \) y \( W(t_{0}+t)\in T_{c(t_{0}+t)}M, \) y los espacios vectoriales \( T_{c(t_{0})}M \) y \( T_{c(t_{0}+t)}M \) son distintos, no podemos sumar un elemento de uno con un elemento del otro.
Este es justamente uno de los problemas que soluciona el transporte paralelo. Con el transporte paralelo podemos llevar la información del espacio \( T_{c(t_{0}+t)}M \) a \( T_{c(t_{0})}M \) y hacer las operaciones en un mismo espacio sin problemas. Es decir, al hacer
\begin{equation}\label{E2}\displaystyle D_{t} W(0)=\lim_{t\to 0}\dfrac{W_{t}|_{c(0)}-W(0)}{\color{blue}t},\end{equation}
al menos todas las expresiones están bien definidas (nota que el numerador de la expresión a la que se le toma límite siempre está en \( T_{c(0)}M \)).
Finalmente, sobre esto
Y luego, en la definición "alternativa" de la pregunta inicial, no entiendo porque se puede sustituir por el transporte paralelo, ya que si se supone que haces el transporte paralelo hacia el punto Q o desde el punto Q al P al ser paralelo no quedaría en la misma dirección que en el dibujo no?
En la parte que marco en azul. La respuesta es no, me parece que estás imaginando una superficie en \( \mathbb{R}^{3} \) y estás tomando un vector del espacio tangente a la superficie y lo estás
trasportando paralelamente en \( \mathbb{R}^{3} \) de un punto a otro, esto no es correcto. De esta forma el punto final puede que incluso no vaya a ser tangente a la superficie que se estudia. El transporte paralelo es intrínseco a la geometría de la variedad que se está estudiando, y si tenemos una variedad \( M \) embebida en algún espacio euclidiano \( \mathbb{R}^{n}, \) en general el transporte paralelo en \( M \) NO coincide con el transporte paralelo en \( \mathbb{R}^{n}. \) Como ejemplo intenta pensar en el transporte paralelo en \( \mathbb{S}^{2}\subset\mathbb{R}^{3} \) a lo largo de sus geodésicas.
Saludos,
Enrique.
