[raistlin]

Hola, tengo una duda respecto a como conseguir estos símbolos:

La conexión tiene torsión 0 con lo que podemos obtener el corchete de Lie como: \( \triangledown{}_XY-\triangledown{}_YZ=[X,Y] \)
luego tenemos que:

\( X(G(Y,Z))=G(\triangledown{}_XY,Z)+G(Y,\triangledown{}_XZ) \)
\( Y(G(Z,X))=G(\triangledown{}_YZ,X)+G(Z,\triangledown{}_YX) \)
\( Z(G(X,Y))=G(\triangledown{}_ZX,Y)+G(X,\triangledown{}_ZY) \)

y luego por una serie de pasos que no comprendo acaba en

\( X(G(Y,Z))+Y(G(Z,X))-Z(G(X,Y))-G([X,Y],Y)-G([Y,Z],X)-G([X,Y],Z)=2G(Z,\triangledown{}_YX) \)

¿Cuáles son esos pasos?

Gracias y saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, tengo una duda respecto a como conseguir estos símbolos:

La conexión tiene torsión 0 con lo que podemos obtener el corchete de Lie como: \( \triangledown{}_XY-\triangledown{}_Y\color{red}Z\color{black}=[X,Y] \)

Ahí tienes una errata. Es:

\( \triangledown{}_XY-\triangledown{}_Y\color{red}X\color{black}=[X,Y] \)

luego tenemos que:

\( X(G(Y,Z))=G(\triangledown{}_XY,Z)+G(Y,\triangledown{}_XZ) \)  (1)
\( Y(G(Z,X))=G(\triangledown{}_YZ,X)+G(Z,\triangledown{}_YX) \)  (2)
\( Z(G(X,Y))=G(\triangledown{}_ZX,Y)+G(X,\triangledown{}_ZY) \)  (3)

y luego por una serie de pasos que no comprendo acaba en

\( X(G(Y,Z))+Y(G(Z,X))-Z(G(X,Y))-G([X,Y],Y)-G([Y,Z],X)-G([X,Y],Z)=2G(Z,\triangledown{}_YX) \)

Haz (1)+(2)-(3). Ten en cuenta que:

\( G(A,B)=G(B,A) \)

\( G  \)es lineal, es decir \( G(A+A',B)=G(A,B)+G(A',B). \)

En (1):

\( G(\triangledown{}_XY,Z)=G(\triangledown{}_YX,Z)+G([X,Y],Z) \)

Con esto y usando el corchete cuando agrupes te sale.

Saludos.

[raistlin]

Gracias ya lo conseguí 

[raistlin]

Aunque ahora tomando

\( Y=\frac{{\partial }}{{\partial x^i}} \), \( X=\frac{{\partial }}{{\partial x^j}} \), \( Z=\frac{{\partial }}{{\partial x^k}} \)

\( G(\triangledown{}_YX,Z) \) me da \( G(\triangledown{}_\frac{{\partial }}{{\partial x^i}}\frac{{\partial }}{{\partial x^j}},\frac{{\partial }}{{\partial x^k}})=G(\Gamma^{l}_{ij}\frac{{\partial }}{{\partial x^l}},\frac{{\partial }}{{\partial x^k}}) \)

no se porque saca el simbolo de christoffel y queda \( \Gamma^{l}_{ij}g_{lk} \) 

[Luis Fuentes]

Hola

Aunque ahora tomando

\( Y=\frac{{\partial }}{{\partial x^i}} \), \( X=\frac{{\partial }}{{\partial x^j}} \), \( Z=\frac{{\partial }}{{\partial x^k}} \)

\( G(\triangledown{}_YX,Z) \) me da \( G(\triangledown{}_\frac{{\partial }}{{\partial x^i}}\frac{{\partial }}{{\partial x^j}},\frac{{\partial }}{{\partial x^k}})=G(\Gamma^{l}_{ij}\frac{{\partial }}{{\partial x^l}},\frac{{\partial }}{{\partial x^k}}) \)

no se porque saca el simbolo de christoffel y queda \( \Gamma^{l}_{ij}g_{lk} \) 

Fíjados \( i,j,l  \)en cada punto \( \Gamma^{l}_{ij} \) es un número; por linealidad de \( G \):

\( G(\Gamma^{l}_{ij}\frac{{\partial }}{{\partial x^l}},\frac{{\partial }}{{\partial x^k}})=\Gamma^{l}_{ij}G(\frac{{\partial }}{{\partial x^l}},\frac{{\partial }}{{\partial x^k}}) \)

Y por otra parte por definición directamente \( g_{lk}=G(\frac{{\partial }}{{\partial x^l}},\frac{{\partial }}{{\partial x^k}}) \).

Saludos.

[raistlin]

Solucionado Gracias