[raistlin]

Hola,

Alguien me podría explicar como deducir la expresión local \( (U,ϕ=(x^1,..,x^n)) \) de la derivada covariante en una curva c ?

Se que es \( \triangledown{}_\frac{{\partial c(t)}}{{\partial t}}V \) con \( V=V^i\frac{{\partial }}{{\partial x^i}} \) pero utilizando las propiedades de la conexión afin no consigo sacar el resultado correcto

Gracias

[EnRlquE]

Hola raistlin.

 Es cuestión de hacer cuentas. Si suponemos que \( V=V^{j}\partial_{j} \) (lo anoto así sólo por comodidad a la hora de escribir las cuentas) y además la representación en coordenadas de \( c(t) \) es \( \big(c^{1}(t),\dots,c^{n}(t)\big) \) se tiene que \( \mathop{c}\limits^{\cdot}(t)=\mathop{c^{i}}\limits^{\cdot}(t)\partial_{i}, \) luego en el punto \( t_{0} \) tenemos que

\begin{align*}\nabla_{\mathop{c}\limits^{\cdot}(t_{0})}V(t_{0})&=\nabla_{\mathop{c}\limits^{\cdot}(t_{0})}V^{j}(t_{0})\partial_{j}\\
&=\mathop{V^{j}}\limits^{\cdot}(t_{0})\partial_{j}+V^{j}(t_{0})\nabla_{\mathop{c}\limits^{\cdot}(t_{0})}\partial_{j}\\
&=\mathop{V^{k}}\limits^{\cdot}(t_{0})\partial_{k}+V^{j}(t_{0})\nabla_{\mathop{c^{i}}\limits^{\cdot}(t_{0})\partial_{i}}\partial_{j}\\
&=\mathop{V^{k}}\limits^{\cdot}(t_{0})\partial_{k}+V^{j}(t_{0})\mathop{c^{i}}\limits^{\cdot}(t_{0})\nabla_{\partial_{i}}\partial_{j}\\
&=\mathop{V^{k}}\limits^{\cdot}(t_{0})\partial_{k}+V^{j}(t_{0})\mathop{c^{i}}\limits^{\cdot}(t_{0})\Gamma_{ij}^{k}(c(t_{0}))\partial_{k}\\
&=\big(\mathop{V^{k}}\limits^{\cdot}(t_{0})+V^{j}(t_{0})\mathop{c^{i}}\limits^{\cdot}(t_{0})\Gamma_{ij}^{k}(c(t_{0}))\big)\partial_{k},
\end{align*}

donde \( \Gamma_{ij}^{k} \) son los símbolos de Christoffel definidos por \( \nabla_{\partial_{i}}\partial_{j}=\Gamma_{ij}^{k}\partial_{k}. \) Revisa bien las cuentas y si tienes dudas, pregunta. Hace mucho tiempo que no hago este tipo de cálculos y puede que el orden de alguno de los índices no esté bien, o que falte o sobre alguna derivada por ahí.

Saludos,

Enrique.

[raistlin]

No entiendo esta parte \( ∇_\frac{{\partial c(t)}}{{\partial t}}V^j(t_0)∂j=\frac{{\partial V^j(t_0)}}{{\partial t}}∂j+V^j(t_0)∇_\frac{{\partial c(t_0)}}{{\partial t}}∂j \)

Se supone que una de las propiedades de la conexión afin es \( \triangledown{}_X(fY)=X(f)Y+f\triangledown{}_XY \) y es eso lo que hay que emplear para resolver derivadas covariantes no?

con lo que no deberia dar en la primera suma \( c(t)\frac{{\partial V^j(t_0)}}{{\partial t}}∂j \) ?

Tampoco entiendo muy bien la definición, se supone que la derivada covariante es una derivada normal pero que tambien tiene en cuenta la variacion de los vectores base del sistema de coordenadas, ok. Y la elección de unos simbolos de cristoffel que den resultados coherentes en cartas compatibles es lo que da lugar a una conexión afin, ahi ya no entiendo nada, a que se refiere por resultados coherentes? algun ejemplo?

Gracias, estoy intentando aprender geometria y curvatura en variedades pero toda la información que encuentro es superliosa, se saltan pasos y no ponen ningun ejemplo comprensible por lo menos para un no matematico.. me esta costando mucho la verdad 

[EnRlquE]

Hola raistlin.

 Es que en ese paso usé una propiedad de la derivada covariante, no de la conexión. Hay que tener presente que dada una curva diferenciable \( c:I\to M \) sobre la variedad \( M, \) la derivada covariante a lo largo de \( c \) (todo junto), representada por \( \nabla_{\dot{c}(\cdot)} \) es un operador definido sobre el espacio de campos vectoriales a lo largo de \( c \), aveces representado por \( {\cal T}(c), \) (que no es lo mismo que el espacio de campos vectoriales sobre \( M \), a secas). Más específicamente, \( \nabla_{\dot{c}(\cdot)}:{\cal T}(c)\to{\cal T}(c) \) es un operador que verifica las tres propiedades enunciadas en el lema 4.9 de este libro. La propiedad que usé es la segunda.

 En el libro del último enlace se usa la notación \( D_{t} \) para derivada covariante, en lugar de \( \nabla_{\dot{c}(\cdot)}, \) pero nota que la propiedad (c) justifica la notación que estamos usando en este hilo. Entonces, es importante tener presente que entender la expresión \( \nabla_{\dot{c}(t_{0})}V(t_{0}) \) como la conexión actuando en \( V \) es únicamente posible cuando \( V \) es extendible a un cierto campo \( \tilde{V} \) definido en una vecindad de \( c(t_{0}) \) (y no únicamente en la curva \( c \)). Esto no siempre es posible para campos a lo largo de curvas.

 De todas formas, por si te da curiosidad, en el caso particular que la propiedad (c) se cumpliese, es decir si el campo \( V \) a lo largo de \( c \) fuese extendible en una vecindad de \( c(t_{0}) \), se puede verificar, usando las propiedades de la conexión, que \( \nabla_{\dot{c}(t_{0})}V^{j}(t_{0})\partial_{j}=\dot{V}^{j}(t_{0})\partial_{j}+V^{j}(t_{0})\nabla_{\dot{c}(t_{0})}\partial_{j}, \) te dejo un esbozo bajo es siguiente spoiler.

Spoiler

Por simplicidad denotaremos también por \( V \) a la extensión de \( V, \) entonces por la propiedad que mencionas

\( \begin{align*}
\nabla_{\dot{c}(t_{0})}V^{j}(t_{0})\partial_{j}&=\dot{c}(t_{0})(V^{j})(t_{0})\partial_{j}+V^{j}(t_{0})\nabla_{\dot{c}(t_{0})}\partial_{j}\\
&=\dot{V}^{j}(t_{0})\partial_{j}+V^{j}(t_{0})\nabla_{\dot{c}(t_{0})}\partial_{j}.
\end{align*} \)

Para lograr la última igualdad se hace uso de la regla de la cadena, puedes tratar de verificar usándola que \( \dot{c}(t_{0})(V^{j})(t_{0})=\dot{V}^{j}(t_{0}) \) como ejercicio.

[cerrar]

Saludos,

Enrique.

[raistlin]

Bien, por lo que entiendo de tu respuesta, la derivada covariante a lo largo de una curva, seria, en teoría de superficies clásica, la normal a esa curva, y que no tiene que ser lo mismo que la normal a la superficie.
Y para que se pudiera utilizar la propiedad de la conexión (que se que es algo de paralelismo pero no lo tengo muy claro) parece ser que tiene que ser en las cercanías del punto elegido porque ambas normales coincidirían en la mayoría de casos, es correcto el símil?

Pero luego en lo que me has puesto en el Spoiler:
Para lograr la última igualdad se hace uso de la regla de la cadena, puedes tratar de verificar usándola que \( \frac{{\partial c(t_0)}}{{\partial t}}V^j(t_0)=\frac{{\partial V^j(t_0)}}{{\partial t}} \) como ejercicio.

Pues por muchas vueltas que le de, no consigo sacarlo 

[raistlin]

Y luego si la definición de las geodésicas es DV/dt=0 donte V es el campo de vectores tangentes a c, entonces por que el resultado no es el mismo que el de la ecuación de las geodésicas? que diferencia hay entre la derivada covariante a través de una curva que de cero y una geodésica? 

[EnRlquE]

Hola raistlin.

 Siento la tardanza, mi rutina está revuelta estas semanas. Sobre tus dudas (continuaré con la notación de los anteriores mensajes)

Bien, por lo que entiendo de tu respuesta, la derivada covariante a lo largo de una curva, seria, en teoría de superficies clásica, la normal a esa curva, y que no tiene que ser lo mismo que la normal a la superficie.

No, la derivada covariante es un operador sobre lo que antes llamamos \( {\cal T}(c), \) que a groso modo son vectores tangentes a la variedad en puntos de la cuerva \( c \). En particular, al transformar un elemento de \( {\cal T}(c) \) en otro elemento de \( {\cal T}(c), \) fijado un tiempo \( t_{0}, \) estamos transformando un vector tangente a la variedad \( V(t_{0}) \) en otro vector tangente a la variedad \( D_{t}V(t_{0}), \) ambos tangentes a la variedad en el punto \( c(t_{0})\in M. \)

Y para que se pudiera utilizar la propiedad de la conexión (que se que es algo de paralelismo pero no lo tengo muy claro) parece ser que tiene que ser en las cercanías del punto elegido porque ambas normales coincidirían en la mayoría de casos, es correcto el símil?

Hmm... no estoy seguro de cómo interpretar lo que dices. Lo único que se necesita para aplicar las propiedades de la conexión directamente es que un elemento de \( {\cal T}(c) \) pueda ser extendido a una vecindad de \( c \) (o alguna restricción de \( c \)). Esto siempre es posible si restringimos la curva \( c \) al rededor de un punto \( t_{0}\in I. \) Para hacer esto no necesitamos hablar de paralelismo. Tampoco es correcta tu interpretación sobre vectores normales, por lo que acabamos de ver en el párrafo anterior.

 Sobre esto

Pero luego en lo que me has puesto en el Spoiler:
Para lograr la última igualdad se hace uso de la regla de la cadena, puedes tratar de verificar usándola que \( \frac{{\partial c(t_0)}}{{\partial t}}V^j(t_0)=\frac{{\partial V^j(t_0)}}{{\partial t}} \) como ejercicio.

Pues por muchas vueltas que le de, no consigo sacarlo 

 Es cuestión de hacer la cuenta y saber cómo es que están parametrizados \( V\in{\cal T}(c) \) y su extensión \( \tilde{V} \) en una vecindad de \( t_{0}. \) En el spoiler no hice distinción entre ellas por simplicidad, por abuso de notación, pero hay que tener claro que lo que se quiere probar es que \( \dot{c}\tilde{V}^{j}=\dot{V}^{j} \) para todo \( j\in\{1,2,\dots,n\} \) (veremos la expresión precisa en un momento).

 Por definición  \( V\in{\cal T}(c) \) está parametrizado por el intervalo \( I, \) mientras que su extensión \( \tilde{V} \) está definida sobre una vecindad de \( M. \) En particular tenemos que \( V(t)=\tilde{V}\big(c(t)\big) \) para todo \( t \) en una vecindad de \( t_{0}. \) Esto implica que \( V^{j}(t)=\tilde{V}^{j}\big(c(t)\big) \) para todo \( j\in\{1,2,\dots,n\} \) en una vecindad de \( t_{0}. \) Por tanto al derivar las últimas igualdades respecto de \( t \) en \( t_{0} \) y usar la regla de la cadena se deduce que \( \dot{V}^{j}(t_{0})=\dot{c}(t_{0})\tilde{V}^{j}\big(c(t_{0})\big), \) que es la versión precisa de lo que queremos probar.

 Finalmente, sobre tu última duda

Y luego si la definición de las geodésicas es DV/dt=0 donte V es el campo de vectores tangentes a c, entonces por que el resultado no es el mismo que el de la ecuación de las geodésicas? que diferencia hay entre la derivada covariante a través de una curva que de cero y una geodésica? 

 Lo primero que anotas no es la definición de geodésica. Que \( D_{t}V\equiv 0, \) con \( V\in{\cal T}(c), \) quiere decir que \( V \) es un campo paralelo a lo largo de \( c. \) Esto no tiene que ver con que \( c \) sea una geodésica o no. Por otro lado, la curva \( c \) es una geodésica cuando su campo tangente a lo largo de \( c, \) que denotaré por \( \dot{c}, \) es paralelo. Esto quiere decir que \( c \) es geodésica cuando \( D_{t}\dot{c}\equiv 0. \) Esto es una restricción sobre la curva \( c. \) No toda curva es geodésica, pero sobre toda curva (suave) siempre existen campos paralelos (a lo largo de la curva).

 Si tienes más dudas pregunta. Nada más ten en cuenta que si tus dudas se van alejando del tema original de este hilo, lo mejor sería que crees algún otro hilo para ellas.

Saludos,

Enrique.