[raistlin]

No entiendo una parte de la definición, a ver si alguien me puede ayudar..

sea una conexión afín \( \triangledown{} \) y sean X y V campos de vectores que se expresan como \( X=X^i\frac{{\partial }}{{\partial x_i}} \) y  \( V=V^i\frac{{\partial }}{{\partial x_i}} \)  con una carta \( (U,ϕ=(x^1,...,x^n)) \)

\( \triangledown{}_XV=X^i\triangledown{}_\frac{{\partial }}{{\partial x_i}}(V^i\frac{{\partial }}{{\partial x_i}}) \) por la primera propiedad de las conexiones afines

\( X^i\triangledown{}_\frac{{\partial }}{{\partial x_i}}(V^i\frac{{\partial }}{{\partial x_i}})=X^i(V^j\triangledown{}_\frac{{\partial }}{{\partial x_i}}\frac{{\partial }}{{\partial x_j}}+X(V^j)\frac{{\partial }}{{\partial x_j}}) \) por la tercera propiedad de las conexiones afines

pero no entiendo porque \( X(V^j) \) es igual a \( \frac{{\partial V^j}}{{\partial x^i}} \) si alguien me lo puede explicar

Gracias y saludos

[Luis Fuentes]

Hola

pero no entiendo porque \( X(V^j) \) es igual a \( \frac{{\partial V^j}}{{\partial x^i}} \) si alguien me lo puede explicar

Es que no es igual. Revisa la expresión.

\( X^i\triangledown{}_\frac{{\partial }}{{\partial x_i}}(V^i\frac{{\partial }}{{\partial x_i}})=X^i(V^j\triangledown{}_\frac{{\partial }}{{\partial x_i}}\frac{{\partial }}{{\partial x_j}}+\color{red}X(V^j)\color{black}\frac{{\partial }}{{\partial x_j}}) \)

El factor en rojo está mal. Ten en cuenta que estás calculando:

\( \triangledown{}_\frac{{\partial }}{{\partial x_i}}(V^i\frac{{\partial }}{{\partial x_i}}) \)

(todo ello multiplidado después por \( X^i \)). No aparece ninguna \( X \) en esa expresión.

Tendría que ser:

\( \triangledown{}_\frac{{\partial }}{{\partial x_i}}(V^i\frac{{\partial }}{{\partial x_i}})=V^j\triangledown{}_\frac{{\partial }}{{\partial x_i}}\frac{{\partial }}{{\partial x_j}}+\color{red}\frac{\partial}{\partial X_i}(V^j)\color{black}\frac{{\partial }}{{\partial x_j}} \)

Saludos.

[raistlin]

Cierto, fallo tonto, ahora lo veo
Gracias